Aprendemos a resolver ecuaciones aplicando las propiedades de los números naturales

    1. Fundamentación
    2. Competencia
    3. Actividades y estrategias
    4. Información teórica
    5. Sesión de aprendizaje
    6. Evaluación
    7. Recomendaciones
    8. Bibliografía
    9. Anexos



    FUNDAMENTACIÓN

    2.1.- PEDAGÓGICA

    En un mundo donde los conocimientos matemáticos se desarrollan vertiginosamente y aumentan sus aplicaciones día a día, en el que calculadoras y ordenadores forman parte del quehacer cotidiano, hay consenso social a nivel mundial sobre la importancia de la matemática y la necesidad de su aprendizaje por todos los estudiantes, esto significa dotar a los alumnos y alumnas de una cultura matemática que les proporcione recursos para toda su vida, lo que implica brindarles oportunidades de aprendizaje que estimulen el desarrollo de su pensamiento lógico matemático, y particularmente del aprendizaje de las ecuaciones, toda vez que estas son la base de todo proceso cognitivo que aspira a dar respuesta a cuestiones problemáticas.

    Las ecuaciones permiten al alumno el hacerles partícipes conscientes y activos en la creación de conocimientos, potenciar la actitud de reflexión ? acción abierta, el análisis crítico y la capacidad de adaptación a las necesidades emergentes de la sociedad, lo cual exige un gran esfuerzo y un proceder perseverante de todos los actores educativos.

    El pensamiento matemático se va estructurando desde los primeros años de vida en forma gradual y sistemática. El niño y la niña observan y exploran su entorno inmediato y los objetos que lo configuran, estableciendo relaciones entre ellos al realizar actividades concretas a través de la manipulación de materiales, participación en juegos didácticos, elaboración de esquemas, gráficos, dibujos. Estas interacciones les permiten representar y evocar aspectos diferentes de la realidad vivida, interiorizarlas en operaciones mentales y manifestarlas utilizando símbolos como instrumentos de expresión, pensamiento y síntesis de las acciones que despliegan sobre la realidad, para luego ir aproximándose a niveles de abstracción.

    Al empezar su escolaridad, las niñas y los niños poseen cierto nivel de desarrollo de sus estructuras cognitivas, llevan al aula una considerable experiencia matemática, a partir de las cuales pueden seguir avanzando en la construcción de sus conocimientos lógico matemáticos con el apoyo pedagógico del docente en función a las necesidades particulares de cada alumno y alumna para permitirles que desarrollen sus potencialidades en forma óptima. A partir de la actividad lógico matemática en la resolución de ecuaciones , los alumnos van desarrollando y modificando sus esquemas de interpretación de la realidad, ampliándolos, reorganizándolos y relacionando los nuevos saberes con sus conocimientos previos.

    El Cuarto grado de Primaria es una etapa de afirmación de las competencias básicas y la formación de estructuras de conocimientos y conceptos fundamentales en relación con los diversos aspectos de la realidad, construidos activamente a partir del contacto con el medio estas estructuras y conceptos serán la base de nuevos aprendizajes referidos a otros espacios y tiempos.

    El Área Lógico Matemática en la Estructura Curricular Básica del Cuarto grado de Primaria prevé la enseñanza a de las ecuaciones en su forma simple , tomando en cuenta que a partir del aprendizaje de las mismas , los alumnos podrán desarrollar su aparato cognitivo, mejorando su nivel de deducción e inducción, y estableciendo hipótesis, probándolas y extrayendo conclusiones.

    Por otro lado, la enseñanza de las ecuaciones es importante porque ayuda al niño a, pensar en la resolución de problemas, no solo del tipo matemático, sino también le ayudara a resolver aquellas cuestiones que se le presentan en su vida cotidiana

    En el tratamiento de las ecuaciones, en busca de la solución el alumno podrá desarrollar operaciones matemáticas utilizando la adicción, sustracción, multiplicación y división, ya que con estas operaciones básicas su desarrollo mental cognitivo , ayudara a reconocer componentes y establecer la respuesta o solución correcta al planteamiento que la ecuación otorga.

    2.1.1.- PSICOPEDAGÓGICA

    La formulación de problemas dentro de la enseñanza de la Matemática es tan importante como su solución y al decir de Polya (1998) La experiencia de un alumno en Matemática será incompleta mientras no tenga la ocasión de resolver un problema que él mismo haya inventado", algunos investigadores coinciden en afirmar que mediante la formulación de problemas se contribuye a la solidez de los conocimientos, se desarrollan la expresión oral y escrita, el análisis y la síntesis, la abstracción y la generalización como operaciones mentales que contribuyen al desarrollo del pensamiento lógico, flexible, heurístico y creativo (González, D. 1996 ).

    Además, como los problemas deben estar vinculados a situaciones de la vida en sus diferentes esferas, tanto en lo político-ideológico, económico-laboral y científico-ambiental, ello propicia que los mismos se apoyen en informaciones actualizadas, tanto del ámbito internacional como nacional así como de la comunidad en que viven, todo lo cual contribuye al fortalecimiento de valores y el desarrollo multilateral del estudiante. Los libros de texto de que se dispone en la primaria datan de 1990,y algunos remozados del año 2000 en los mismos se refleja de manera adecuada el contenido matemático, pero los problemas que contienen, en su mayoría son de carácter hipotético, por lo que para los profesores resulta tanto útil como necesario saber formular problemas y saber enseñar a sus alumnos a hacerlo, lo que contribuye a fortalecer sus valores, su educación político-ideológica, desarrollar habilidades matemáticas relacionadas con la solución de problemas y ampliar su bagaje cultural.

    El desarrollo de las matemáticas a decir de Piaget:

    "En la mayoría de las lecciones de matemática toda la diferencia estriba en el hecho de que se le pide al alumno que acepte una disciplina intelectual ya completamente organizada, la cual puede o no entender, mientras que en el contexto de actividad autónoma tiene que descubrir por sí mismo las relaciones y los conceptos, y recrearlos hasta el momento en que es feliz de ser guiado y enseñado."(Introducción a Piaget. Pensamiento, Aprendizaje, Enseñanza. Labinowicz, , 1987)

    Para Piaget el conocimiento lógico-matemático es el que no existe por si mismo en la realidad (en los objetos). La fuente de este razonamiento está en el sujeto y éste la construye por abstracción reflexiva. De hecho se deriva de la coordinación de las acciones que realiza el sujeto con los objetos. El ejemplo más típico es el número, si nosotros vemos tres objetos frente a nosotros en ningún lado vemos el "tres", éste es más bien producto de una abstracción de las coordinaciones de acciones que el sujeto ha realizado, cuando se ha enfrentado a situaciones donde se encuentren tres objetos

    El conocimiento lógico-matemático de las ecuaciones ,"surge de una abstracción reflexiva", ya que este conocimiento no es observable y es el niño quien lo construye en su mente a través de las relaciones con los números , desarrollándose siempre de lo más simple a lo más complejo, teniendo como particularidad que el conocimiento adquirido una vez procesado no se olvida, ya que la experiencia no proviene de los objetos sino de su acción sobre los mismos. De allí que este conocimiento posea características propias que lo diferencian de otros conocimientos.

    Las operaciones lógico matemáticas de las ecuaciones antes de ser una actitud puramente intelectual, requiere en el alumno la construcción de estructuras internas y del manejo de ciertas nociones que son, ante todo, producto de la acción y relación del niño con los componentes de la ecuación y que a partir de una reflexión le permiten adquirir las nociones fundamentales para la solución . El docente que acompaña al niño en su proceso de aprendizaje debe planificar didáctica de procesos que le permitan interaccionar con los problemas que representan las ecuaciones , que sean su realidad: personas, juguetes, ropa, , plantas, etc.

    2.1.2.- FILOSÓFICA

    La originalidad de la filosofía de la matemática radica en su elaboración desde la perspectiva de la inteligencia sentiente o de la impresión de la formalidad de realidad. Wolf (2002), afirma que la inteligencia no es concipiente sino sentiente. Su función primaria no es concebir y juzgar lo dado por los sentidos, sino impresión de realidad. La inteligencia siente "a una" el contenido sensible y su realidad .

    La matemática filosóficamente es un juego. ¿Por que? Porque la matemática se ama con reglas que se van combinando con una lógica para llegara conclusiones. Tan es asi que podemos cambiar las reglas de juego y armar otra matemática. Esto seria para charlar lo largo y tendido pero es así. Eso por un lado, pero hay otra cosa que es importante y es que en realidad , cuando pensamos en nuestros alumnos , incluso en nuestros docentes que tienen que lidiar con la matemática, estamos pensando en una matemática cotidiana, no una cosa muy abstracta , muy filosófica, sino en una cosa muy cotidiana.

    La matemática mueve al mundo , es decir, la matemática tiene verdades que las necesitamos para que funcione el supermercado, para que funcionen los colectivos , las cosas de todos los días . Entonces, esa matemática que nosotros tenemos que enseñar y que aprender, tiene que tener que ver con las cosas de todos los días.

    El filosofar del porque enseñar las ecuaciones implica pensar en como y porque debemos no solo enseñarla sino también aprenderla. No existe filosofía de las ecuaciones, pero si podemos decir que esta ayudan al niño y al hombre a pensar que cada acto , que cada hecho tiene una razón, las incógnitas que nos presentan las ecuaciones nos indican que cada hecho también las tiene. Aprender a resolver incógnitas de las ecuaciones , de una u otra forma ayuda al niño y al hombre a desarrollar su pensamiento en la toma de decisiones para dar solución a los problemas que se le presentan en la vida cotidiana.

    Las ecuaciones con sus componentes nos idealizan que en el mundo real todo tiene un orden y una consecuente realidad. Nada hay mas racional que en la expresión 4 + x = 9. Donde la incógnita "x" es el numero 5. de igual forma el pensar de porque hay que colocar el 5 en lugar de la "X" lleva al niño a pensar , y el pensar es la base de toda filosofía.

    2..3.- EPISTEMOLÓGICA

    En toda experiencia educativa interactúan en el proceso varios elementos en forma dinámica: docente, alumno, currículo, medio o contexto en el cual se da la experiencia. Las competencias (capacidades y actitudes) y las orientaciones metodológicas constituyen también elementos interactuantes que deben considerarse en conjunto. La niña y el niño adquieren y desarrollan competencias matemáticas a través de un proceso en espiral en el que van ampliando el nivel de elaboración y profundización de sus saberes, dándoles cada vez mayor complejidad e introduciendo nuevos conocimientos de acuerdo a sus progresos y ritmos de aprendizaje, lo cual les permite aplicar sus conocimientos a nuevas construcciones mentales y encontrar sentido a lo que aprenden.

    La organización del Currículo por Grados permite a los educandos disponer de más tiempo para lograr las experiencias necesarias y construir las competencias esperadas. Las orientaciones metodológicas que enmarcan la acción pedagógica en esta etapa de la escolaridad se dirigen al logro de las competencias básicas que deben alcanzar las niñas y los niños al terminar el Cuarto Grado de Primaria, para lo cual es necesario tener en cuenta lo siguiente:

    El edificio de las matemáticas reposa sobre estructuras de la inteligencia: es necesario basar la didáctica matemática en la organización progresiva de estas estructuras operatorias. Las operaciones se originan en las acciones que se interiorizan coordinándose en estructuras. En el niño y la niña todo conocimiento supone una participación de la experiencia para constituirse. Las experiencias físicas conducen a la abstracción del objeto mismo y las experiencias lógico matemáticas conducen a la abstracción a partir de las acciones operaciones realizadas sobre el objeto.

    Por eso el niño y la niña en esta etapa de su escolaridad necesitan manipular objetos concretos, familiarizarse con ellos, establecer relaciones, buscar regularidades...así encuentran su trabajo fácil, interesante y espontáneo además el tiempo utilizado es importante para crear un clima de confianza, esencial en el acto de aprender. El maestro pacientemente deberá comprender el valor que tienen las exploraciones que hacen los alumnos y alumnas y promoverlas.

    La adquisición y desarrollo de las competencias matemáticas dependerá en gran medida de lo que el niño y la niña hagan, de sus propias construcciones, de este modo comprenderán mejor los conocimientos que vayan estructurando y tendrán ocasión de organizar su experiencia perceptiva y activa, de rectificar sus realizaciones cuando convenga, de engendrar nuevas situaciones.

    Entre los contenidos que se desarrollan en el informe "Aprendamos a resolver ecuaciones" tenemos

    1.- Reconocemos las ecuaciones como una igualdad de número naturales

    2.- Identificamos los elementos y miembros de una ecuación

    3.- Resolvemos ecuaciones aplicando las propiedades de los números naturales

    4.- Usamos diferentes estrategias para resolver ecuaciones

    2.2.- FUNDAMENTACIÓN METODOLÓGICA

    2.2.1.- Metodología

    La Metodología es la ciencia que se encarga del método utilizando para descubrir , sintetizar o transmitir el saber : conocer m, hacer, ser y convivir (ECITEC) "Metodología y tecnología educativa" U.N.E. Enrique Guzmán y valle")

    Es una forma simple de decirla así : la disciplina que estudia aspectos teóricos y objetivos (Suárez Froilan, 2002)

    La metodología de la enseñanza es el conjunto de procedimientos didácticos implicado en los métodos y técnicas de enseñanza que tiene por objeto llevar a un buen término de acción didáctica, es decir, alcanzar los objetivos de la enseñanza , y en consecuencia , los de la educación con un nuevo esfuerzo y un máximo de rendimiento (Incder Nerice,1980)

    CLASES DE METODOLOGÍA

    1.- METODOLOGÍA TRADICIONAL O CONDUCTISTA

    El profesor es el centro de todo el sistema de enseñanza y el alumno es solamente un ser pasivo, receptor y memorista.

    2.- METODOLOGÍA MODERNA ACTIVA Y CONSTRUCTIVISTA

    El alumno es el centro del aprendizaje , siendo el profesor un facilitador , un guía para descubrir los nuevos aprendizajes, relacionándolos con sus conocimientos previos.

    2.2.2..- MÉTODO

    Hay unas variedades de definiciones acerca el método, desde el etimológico que lo considera como el camino mas corto para llegar a una meta.

    Dewey lo define como la dirección eficaz del material hacia los resultados deseados. Rousselot dice que el método es el camino mas corto para descubrir la verdad para comunicarla cuando ha sido descubierta.

    El método lo definimos como lo hace ( Luria 1998) la Manera ordenada de hacer cierta cosa, en particular, de enseñar o aprender algo(. " La Ciencia y su Método". -Mendoza Bermejo, José Maria , 1999)

    Existen varias clases de métodos , pero nosotros vamos a verlos desde la óptica del alumno y la relación del docente alumno:

    2.2.2.1.- CLASES DE MÉTODO

    El método en cuanto a su origen científico :

    MÉTODO LÓGICO DEDUCTIVO

    Mediante ella se aplican los principios descubiertos a casos particulares, a partir de un enlace de juicios. El papel de la deducción en la investigación es doble:

    Primero consiste en encontrar principios desconocidos, a partir de los conocidos. Una ley o principio puede reducirse a otra más general que la incluya. Si un cuerpo cae decimos que pesa porque es un caso particular de la gravitación .También sirve para descubrir consecuencias desconocidas, de principios conocidos. Si sabemos que la formula de la velocidad es v=e/t, podremos calcular la velocidad de un avión. La matemática es la ciencia deductiva por excelencia; parte de axiomas y definiciones

    MÉTODO LÓGICO INDUCTIVO

    Es el razonamiento que, partiendo de casos particulares, se eleva a conocimientos generales. Este método permite la formación de hipótesis, investigación de leyes científicas, y las demostraciones. La inducción puede ser completa o incompleta.

    Inducción completa. La conclusión es sacada del estudio de todos los elementos que forman el objeto de investigación, es decir que solo es posible si conocemos con exactitud el numero de elementos que forman el objeto de estudio y además, cuando sabemos que el conocimiento generalizado pertenece a cada uno de los elementos del objeto de investigación. Las llamadas demostraciones complejas son formas de razonamiento inductivo, solo que en ellas se toman muestras que poco a poco se van articulando hasta lograr el estudio por inducción completa

    Inducción incompleta: Los elementos del objeto de investigación no pueden ser numerados y estudiados en su totalidad, obligando al sujeto de investigación a recurrir a tomar una muestra representativa, que permita hacer generalizaciones.

    Diferencia entre método inductivo y deductivo

    La diferencia fundamental entre el método deductivo y el inductivo es que el primero aspira a demostrar, mediante la lógica pura, la conclusión en su totalidad a partir de unas premisas, de manera que se garantiza la veracidad de las conclusiones, si no se invalida la lógica aplicada. Se trata del modelo axiomático propuesto por Aristóteles como el método ideal.

    Por el contrario, el método inductivo crea leyes a partir de la observación de los hechos, mediante la generalización del comportamiento observado; en realidad, lo que realiza es una especie de generalización, sin que por medio de la lógica pueda conseguir una demostración de las citadas leyes o conjunto de conclusiones. Estas conclusiones podrían ser falsas y, al mismo tiempo, la aplicación parcial efectuada de la lógica podría mantener su validez; por eso, el método inductivo necesita una condición adicional, su aplicación se considera válida mientras no se encuentre ningún caso que no cumpla el modelo propuesto.

    Proceso del método inductivo deductivo

    • Observación: el primer paso es la observación de una parte limitada del universo o población que constituye la muestra. Anotación de lo observable, posterior ordenamiento, tabulación y selección de los datos obtenidos, para quedarse con los más representativos.
    • Hipótesis: se desarrolla en esta etapa, el planteamiento de las hipótesis que expliquen los hechos ocurridos (observados). Este paso intenta explicar la relación causa ? efecto entre los hechos. Para buscar la relación causa ? efecto se utiliza la analogía y el método inductivo. La HP debe estar de acuerdo con lo que se pretende explicar (atingencia) y no se debe contraponer a otras HP generales ya aceptadas. La HP debe tener matices predictivos, si es posible. Cuanto más simple sea, mas fácilmente demostrable (las HP complejas, generalmente son reformulables a dos o más HP simples). La HP debe poder ser comprobable experimentalmente por otros investigadores, o sea ser reproducible.
    • Experimentación: la hipótesis debe ser comprobada en estudios controlados, con autentica veracidad.
    • Hipótesis en Investigación: Hipótesis significa literalmente "lo que se supone". Está compuesta por enunciados teóricos probables, referentes a variables o relaciones entre ellas. En el campo de la investigación, la hipótesis, supone soluciones probables al problema de estudio

    Los métodos en cuanto al trabajo del alumno

    • Método de Trabajo Individual: Se le denomina de este modo, cuando procurando conciliar principalmente las diferencias individuales el trabajo escolar es adecuado al alumno por medio de tareas diferenciadas, estudio dirigido o contratos de estudio, quedando el profesor con mayor libertad para orientarlo en sus dificultades.
    • Método de Trabajo Colectivo: Es el que se apoya principalmente, sobre la enseñanza en grupo. Un plan de estudio es repartido entre los componentes del grupo contribuyendo cada uno con una parcela de responsabilidad del todo. De la reunión de esfuerzos de los alumnos y de la colaboración entre ellos resulta el trabajo total. Puede ser llamado también Método de Enseñanza Socializada.
    • Método Mixto de Trabajo: Es mixto cuando planea, en su desarrollo actividades socializadas e individuales. Es, a nuestro entender, el más aconsejable pues da oportunidad para una acción socializadora y, al mismo tiempo, a otra de tipo individualizador.




     

    Los métodos en cuanto a la relación entre el profesor y el alumno.

    • Método Individual: Es el destinado a la educación de un solo alumno. Es recomendable en alumnos que por algún motivo se hayan atrasado en sus clases.
    • Método Recíproco: Se llama así al método en virtud del cual el profesor encamina a sus alumnos para que enseñen a sus condiscípulos.

    MÉTODO A USAR EN LA SESIÓN DE APRENDIZAJE

    En nuestra clase aplicaremos el método individual y grupal de manera que los alumnos interioricen primero el concepto de ecuación y luego en grupo, puedan dialogar ye intercambiar opiniones para su resolución

    2.2.3. LA TÉCNICA

    La TÉCNICA la definimos como los recursos necesarios de la enseñanza; son los vehículos de realización ordenada, metódica y adecuada de la misma. Los métodos y técnicas tienen por objeto hacer más eficiente la dirección del aprendizaje. Gracias a ellos, pueden ser elaborados los conocimientos adquiridos, las habilidades e incorporados con menor esfuerzo los ideales y actitudes que la escuela pretende proporcionar a sus alumno.( Didáctica general. UNMSM .Luis Marcel, 1999)

    Destacan las principales técnicas :

    EXPOSICIÓN

    Es una técnica explosiva centrada en el instructor, y consiste en proporcionar información al grupo, al tiempo que se limita la participación de éste.

    LLUVIA DE IDEAS

    Es una técnica que permite la libre expresión de las ideas de los participantes sin las restricciones o limitaciones con el propósito de producir el mayor número de datos, opiniones y soluciones obre algún tema.

    DISCUSIÓN DIRIGIDA

    Consiste en un intercambio de ideas y opiniones entre los integrantes de un grupo relativamente pequeño, acerca de un tema específico con un método y una estructura en la que se mezclan la comunicación formal y las expresiones espontáneas de los participantes.

    JUEGO DE PAPELES

    En esta técnica algunos participantes asumen un papel diferente al de su propia identidad, para representar un problema real o hipotético con el objeto de que pueda ser comprendido y analizado por el grupo.

    EXPERIENCIA ESTRUCTURADA

    Es una técnica en la cual los participantes realizan una serie de actividades previamente diseñadas, cuyo propósito es destacar los principales elementos de un tema o aspecto del programa. Es importante destacar que hay una gran confusión entre la experiencia estructurada y las llamadas "Dinámicas de grupo", conviene aclarar que la dinámica grupal existe en todo momento como consecuencia del comportamiento de las personas y de su interacción en el grupo, con independencia de la técnica que se emplee.

    LECTURA COMENTADA

    Consiste en dejar a los participantes leer un documento y que lo comenten con la dirección del instructor. Como variante de esta práctica se puede usar el debate, cuya mecánica es semejante.

    INSTRUCCIÓN PROGRAMADA

    Es una técnica individualizada por medio de materiales que permiten que el participante dirija su aprendizaje a su propio ritmo, gracias a la retroalimentación constante de respuestas correctas

    TÉCNICAS A USAR EN LA SESIÓN DE APRENDIZAJE

    Nosotros usaremos las técnicas de la exposición, la experiencia estructurada, la instrucción programada y las lluvias de ideas en el aprendizaje y la enseñanza de las ecuaciones.

    2.2.4.- ESTRATEGIAS

    Todo método tiene una estrategia, de allí que definimos ESTRATEGIA , siguiendo a la acepción que da la Real Academia Española : el Arte de dirigir un asunto para lograr el objeto deseado.( RAE. Diccionario de la Reala Academia de Lengua Española. 2001)

    Nosotros consideramos que las estrategias se confunden con las técnicas, de allí que en matemáticas creemos que podemos emplear las estrategias de dirigidas a obtener o movilizar información , dirigidas a elaborar o transformar información y las dirigidas a comunicar información (. " Estrategias y técnicas de Enseñanza. Taylor, Joseph. 2000: 43)

    Las enunciamos como un proceso consciente e intencionado que favorece el análisis , la reflexión, el control del proceso y la valoración de lo que se hace. Utilizamos estrategias cuando solucionamos , comprendemos un texto ,planificamos una entrevista (PLANCAD, 2001)

    Actualmente las estrategias los mapas conceptuales:

    Los mapas conceptuales permiten organizar de una manera coherente a los conceptos, su estructura organizaciones (Novack, 1999) se produce mediante relaciones significativas entre los conceptos en forma de proposiciones, estas a su vez constan de dos o más términos conceptuales unidos por palabras enlaces que sirven para formar una unidad semántica. Además los conceptos se sitúan en una elipse o recuadro, los conceptos relacionados se unen por líneas y el sentido de la relación se aclara con las palabras enlaces, que se escriben en minúscula junto a las líneas de unión. Hay que tener en cuenta que algunos conceptos son abarcados bajo otros conceptos más amplios, más inclusivos, por lo tanto deben ser jerárquicos; es decir, los conceptos más generales deben situarse en la parte superior del mapa, y los conceptos menos inclusivos, en la parte inferior.

    Los mapas conceptuales le permiten a los profesores y alumnos intercambiar sus puntos de vista sobre la validez de un vínculo preposicional determinado para finalmente proporcionar un resumen esquemático de todo lo que se ha aprendido.

    Los mapas conceptuales son herramientas útiles para ayudar a los estudiantes a aprender acerca de la estructura del conocimiento y los procesos de construcción de pensamiento.

    Este puede servir como punto de partida de cualquier concepción de concepto que la persona pueda tener concerniente a la estructura del conocimiento, es decir, sirve para descubrir los preconceptos del alumno y cuando se llegue al final del proceso servirá para clarificar relaciones entre nuevos y antiguos conocimientos

    ANALOGÍAS

    Consiste en analizar comparaciones entre la información nueva y la información ya conocida.

    ORGANIZADOR PREVIO

    Es un material elaborado por el docente en forma de texto o de diagramas que contiene ideas y conceptos generales sobre el tema que van a aprender.

    ILUSTRACIONES

    Son las fotografías , esculturas , dibujos, gráficos , histogramas que tienen como propósito despertar el interés y mantener la atención de los alumnos sobre un determinado aprendizaje

    ESTRATEGIA A EMPLEAR EN LA SESIÓN DE APRENDIZAJE.

    En la sesión de aprendizaje emplearemos la estrategia de grupo; desarrollan ejercicios y problemas de ecuaciones , exposición de trabajos , intercambian trabajos para corregir errores, exponen sus trabajos y los mejoran con el aporte de toda la clase , ubican los trabajos en el área de lógico matemática del cuarto grado de educación primaria.

    2.2.5.- MEDIOS Y MATERIALES

    Los MEDIOS Y MATERIALES los definimos como Medios auxiliares que usa el docente para lograr motivar e interesar a los alumnos a adquirir y similar nuevos contenidos dentro de una materia o asignatura escolar.( " La Didáctica educativa" Marcus José México DF. 2000)

    Los Medios; su fin es le logro de los objetivos educacionales.

    MATERIALES EDUCATIVOS

    Son todos los medios y recursos que facilitan el proceso de enseñanza y la construcción de los aprendizajes porque estimulan la función de los sentidos y activa las experiencias y aprendizaje previos para acceder más fácilmente a la información , al desarrollo de habilidades y destrezas y a la formación de actitudes y valores.

    CLASES DE MEDIOS Y MATERIALES

    Según los medios de comunicación que emplea :

    • Materiales impresos : Textos, manuales , laminas , folletos
    • Materiales audiovisuales : Videos , películas , diapositivas , programas de radio , grabaciones de audio , programas de computadoras, etc.
    • Materiales multimediales : Programa de computadora con materiales impresos , equipos de laboratorio con textos de aprendizajes , materiales de arte plástica con diapositivas , sonidos grabados y uso de textos de autoaprendizaje.

    Según su intencionalidad :

    • No estructurados : Aquellos no elaboraos con propósitos definidos. Generalmente se recolectan del entorno. Ejemplo : Chapas, semillas , etiquetas , palitos, hojas, cordones, envases, conchas , cuentas, periódicos, instrumentos musicales, retazos de lana, etc.
    • Estructurado : Son aquellos elaboraos para que sirvan de soporte en las actividades de aprendizajes. Ejemplo : regletas de colores, maquetas armables, bloques lógicos, juegos de encaje , rompecabezas, fichas de aplicación.

    De particular importancia para nuestro objetivo es la clasificación de medios y materiales que establece Edgard Dale en su famoso Cono de la experiencia (1966), donde ordena los niveles de concreción y abstracción de los métodos de enseñanza y los materiales instructivos en el sentido de abstracción creciente. Dale opinaba que las ideas pueden ser más fácilmente entendidas y retenidas si se construyen a partir de la experiencia concreta.

    MEDIOS Y MATERIALES A USAR EN LA SESIÓN DE CLASE

    En nuestro caso aplicaremos los símbolos orales, y visuales: pizarra, tiza, plumones, lapiceros, cuadernos de apuntes, regla, tabla de multiplicar, fichas informativas , cuartillas, papelotes, cuaderno de apuntes. etc. .

    Aún cuando algunos de los problema que proponemos pueden resolverse utilizando sistemas de ecuaciones, intentaremos que el alumno los resuelva utilizando una sola incógnita, aunque por vicio adquirido tienda a introducir varias, método que en general le pude resultar más fácil a la hora de plantear el problema, pero no a la de resolverlo, pues generalmente desconoce el estudio de la compatibilidad de sistemas.

    En las actividades se proponen ejercicios que dan lugar a la discusión de la ecuación de primer grado, con ejemplos concretos de cada caso posible (problema sin solución, con infinitas soluciones y con solución única), y su interpretación en el problema planteado. A la hora de resolver un problema algebraico, es aconsejable que el alumno siga ciertas pautas. Un esquema posible a seguir es el siguiente:

    • Leer y comprender el enunciado
    • Designar la incógnita
    • Plantear la ecuación
    • Resolver la ecuación
    • Discusión e interpretación de los resultados

    Ante resultados no satisfactorios, es decir, que el alumno no llegue a la solución o bien ésta no cuadre, se podría plantear una serie de interrogantes mediante el dialogo.

    2.2.6- LA EVALUACIÓN

    • Es un proceso interactivo , consustancial a la enseñanza y al aprendizaje orientado a identificar las necesidades de aprendizaje y valorar el valor del logro alcanzado por los niños y niñas en el desarrollo de competencias, con el propósito de tomar decisiones que lleven a la mejora de la práctica educativa. (PLANCAD,2001)
    • La evaluación es integral y continua en todo proceso educativo para proporcionar al maestro la información que le permita mediar y apoyar de cerca los aprendizajes de los niños y niñas. En este sentido , la evaluación puede ser inicial, de proceso o seguimiento y de confirmación o sustantiva.

    CLASES DE EVALUACIÓN

    EVALUACIÓN INICIAL

    Le evaluación inicial posibilita recoger datos para precisar el nivel de expectativas , intereses y aprendizajes previos. Esta evaluación debe hacerse en relación al año académico , un trimestre o al inicio de una unidad didáctica.

    • Cuando un alumno llega por primera vez a una institución educativa ya sea para iniciar su escolaridad o para continuarla , si llegara por primera vez es necesaria una amplia recogida de datos (personales, familiares y sociales). Esta evaluación tiene un carácter diagnostico , servirá para conocer a esa niña o niños y poder adecuar desde el primer momento la actuación del profesor y del centro a sus peculiaridades.
    • Cuando se inicia un proceso de aprendizaje concreto, por ejemplo, al inicio de una unidad didáctica. Esta evaluación permite detectar las idea previas que l alumno posee en relación con las capacidades a desarrollar, igualmente se puede percibir las actitudes manifiestas hacia las mismas.

    EVALUACIÓN DE PROCESO O DE SEGUIMIENTO

    Consiste en la valoración del aprendizaje del niño o niña y de la enseñanza del profesor mediante el recojo sistemático de datos análisis de los mismos y de la toma oportuna , mientras tiene lugar el propio proceso, lo acompañan como parte constitutiva de el. La información obtenida durante esta evaluación permite al profesor una ayuda ajustada , entendiéndose como la que proporciona el docente al alumno para atender oportunamente las dificultades , obstáculos y necesidades que se van presentando durante el desarrollo de una unidad didáctica.

    Pone de manifiesto los distintos ritmos de avances de los alumnos y permite hacer reajustes necesarios a la programación y a las estrategias empleadas por el docente.

    EVALUACIÓN DE CONFIRMACIÓN O SUMATIVA

    Es la valoración que busca confirmar los resultados y las tendencias que se han venido registrando durante la evaluación de seguimiento. La información resultante deberá ser contrastada con la evaluación de inicio y de proceso para identificare el nivel de logros. Esta evaluación no admite los resultados sin más, pone en cuestión el proceso y trata de indagar si las competencias han sido desarrolladas, si los materiales han sido los más adecuados y si en consecuencia las medidas adoptadas han sido eficaces.

    TIPOS DE EVALUACIÓN

    Existen tres tipos básicos de evaluación:

    • la Heteroevaluacion es la que realizan los agentes externos del proceso de aprendizaje, como el propio docente, otros miembros de la institución educativa y los padres de familia.
    • La auto evaluación Cuando cada alumno hace una reflexión y Apreciación critica de sus aprendizajes, teniendo como referencia los indicadores de logro, considerados en la unidad didáctica que se esta autoevaluando.
    • La coevaluacion es la apreciación de los desempeños que se hace entre pares ( niña-niño) cuya finalidad es la de retroalimentarse mutuamente, para reconocer y precisar sus avances, logros, esfuerzos y meritos en relación a sus indicadores de logros previstos.

    EVALUACIÓN QUE SE APLICARA EN LA SESIÓN DE APRENDIZAJE

    En nuestro caso estamos aplicando la Heteroevaluacion y Auto evaluación a través de una ficha de observación, la misma que el alumno desarrollara y evaluara la construcción de sus aprendizajes.

    INSTRUMENTOS DE EVALUACIÓN

    Entre los instrumentos mas usados tenemos :

    • Practica calificada
    • Prueba Oral
    • Prueba escrita
    • Ficha de auto evaluación
    • Ficha de coevaluacion

    2.2.8.- TIEMPO

    El tiempo que se utilizara para el desarrollo de la sesión de aprendizaje será de ciento ochenta minutos ( 180¨)

    1. La enseñanza. es el proceso mediante el cual se comunican o transmiten conocimientos especiales o generales sobre una materia. Este concepto es más restringido que el de educación, ya que ésta tiene por objeto la formación integral de la persona humana, mientras que la enseñanza se limita a transmitir, por medios diversos, determinados conocimientos. En este sentido la educación comprende la enseñanza propiamente dicha.
    2. Los métodos de enseñanza descansan sobre las teorías del proceso de aprendizaje y una de las grandes tareas de la pedagogía moderna a sido estudiar de manera experimental la eficacia de dichos métodos, al mismo tiempo que intenta su formulación teórica. En este campo sobresale la teoría psicológica : la base fundamental de todo proceso de enseñanza-aprendizaje se halla representada por un reflejo condicionado, es decir, por la relación asociada que existe entre la respuesta y el estímulo que la provoca.
    3. La tendencia actual de la enseñanza se dirige hacia la disminución de la teoría, o complementarla con la práctica. En este campo, existen varios métodos, uno es los medios audiovisuales que normalmente son más accesibles de obtener económicamente y con los que se pretende suprimir las clásicas salas de clase, todo con el fin de lograr un beneficio en la autonomía del aprendizaje del individuo. Otra forma, un tanto más moderno, es la utilización de los multimedios, pero que económicamente por su infraestructura, no es tan fácil de adquirir en nuestro medio, pero que brinda grandes ventajas para los actuales procesos de enseñanza ? aprendizaje
    4. El proceso enseñanza-aprendizaje constituye un verdadero par dialéctico en el cual y, respecto al primer componente, el mismo se debe organizar y desarrollar de manera tal que resulte como lo que debe ser: un elemento facilitador de la apropiación del conocimiento de la realidad objetiva que, en su interacción con un sustrato material neuronal, asentado en el subsistema nervioso central del individuo, hará posible en el menor tiempo y con el mayor grado de eficiencia y eficacia alcanzable, el establecimiento de los necesarios engranajes sensoriales, aspectos intelectivos y motores para que el referido reflejo se materialice y concrete, todo lo cual constituyen en definitiva premisas y requisitos para el logro los objetivos propuestos.
    5. La adquisición de una metodología basada en el cuestionamiento científico, en el reconocimiento de las propias limitaciones, en el juicio crítico y razonado, debe insertarse en todo proyecto de desarrollo de la persona y colaborar en la formación de un ciudadano capaz de tomar sus propias decisiones, ya que prepara y favorece una actitud crítica, razonable.
    6. Es difícil escoger un método como el ideal y único camino para realizar una investigación, pues muchos de ellos se complementan y relacionan entre si. A mi consideración el método mas completo es el método Inductivo-Deductivo ya que en él se plantea una hipótesis que se puede analizar deductiva o inductivamente y posteriormente comprobar experimentalmente, es decir que se busca que la parte teórica no pierda su sentido, por ello la teoría se relaciona posteriormente con la realidad. Como notamos una de las características de este método es que incluye otros métodos,
    7. Las estrategias, en el ámbito educativo, son los procedimientos que el alumno pone en marcha para concretar las capacidades propuestas en los objetivos de aprendizaje de sus programaciones de aula. Por lo tanto, las estrategias están integradas en el propio proceso de E-A; de ahí, que no deban trabajarse al margen del currículum, tal y como proponen, por ejemplo, los programas para enseñar a pensar. Las estrategias las emplea el profesor al enseñar y el alumno al aprender y, si realmente son potentes y están bien ajustadas, las que se utilizan para transmitir información y para procesarla deben ser las mismas.
    8. La evaluación es un aspecto fundamental de la práctica docente, ya que permite realizar un seguimiento de los aprendizajes que los alumnos y alumnas van obteniendo. La evaluación debe considerar la posibilidad del error por parte del estudiante, o de una desmesurada exigencia por parte del docente, por lo que una de nuestras propuestas principales en este ámbito es la asistencialidad como factor evaluativo, es decir, cada vez que sea necesario, en una evaluación formal, proponemos que el profesor pida a sus alumnos expresen sus dudad o temores en sus aprendizajes.

    III.- COMPETENCIA

    • Resuelve ecuaciones y crea problemas matemáticos relacionados con situaciones cotidianas para cuya solución se requiere de la adicción y sustracción, multiplicación y división de números naturales.
    • Demuestra confianza en sus propias capacidades y perseverancia en la búsqueda de soluciones

    Capacidades y Actitudes

    • Utiliza las propiedades de los números naturales d dicción, sustracción, multiplicación y división para resolver ecuaciones
    • Resuelve problemas que requieren de operaciones con números naturales en la solución de ecuaciones
    • Halla de manera rápida y eficaz el resultado de una ecuación aplicando estrategias personales.
    • Inventa y resuelve problemas relacionados con las ecuaciones demostrando originalidad y coherencia con la realidad.
    • Usa distintas estrategias para resolver problemas y las comunica. Verifica y comprueba lo razonable de los resultados.

    IV.- ACTIVIDADES Y ESTRATEGIAS

    RESOLVEMOS ECUACIONES

    ACTIVIDADES

    ESTRATEGIAS

    1. Reconocemos las ecuaciones como una igualdad de números naturales

    • El docente presenta una ecuación a los alumnos
    • Los alumnos observan el ejemplo de ecuaciones
    • Dialogan con el docente acerca de las características de las mismas
    • Reconocen la ecuación como una igualdad de números naturales.

    2. Identificamos a los elementos y miembros de una ecuación

    • Dada la ecuación los alumnos expresan de manera oral los componentes de la ecuación
    • El docente establece los componentes de la ecuación
    • El docente realiza la resolución de la ecuación especificando el papel de cada componente

    3.- Resolvemos ecuaciones aplicando las propiedades de los números naturales

     

    • Se desarrollara en la sesión de aprendizaje

    4.- Usamos diferente estrategias para resolver ecuaciones

    • Los alumnos expresan problemas de la vida cotidiana a foie de resolver ecuaciones
    • De manera individual y grupal resuelven las ecuaciones
    • Sistematizan la información y presentan resultados

    V.- INFORMACIÓN TEÓRICA

    LA ECUACIÓN

    Definición

    • Una ecuación es toda igualdad entre dos expresiones matemáticas sin importar el valor que
    • tomen las variables implicadas en cada expresión.
    • Forma matemática de expresar la igualdad de dos expresiones algebraicas; en física, expresión que relaciona una o dos cualidades fundamentales. También se emplea en Química.
      Es un planteamiento de igualdad escrito en términos de variables y constantes.

    Historia de las ecuaciones

    Los primeros en tratar las ecuaciones de primer grado fueron los árabes, en un libro llamado Tratado de la cosa, y a la ciencia de hacerlo, Álgebra (del ár. algabru walmuqābalah, reducción y cotejo). La cosa era la incógnita. La primera traducción fue hecha al latín en España, y como la palabra árabe la cosa suena algo parecido a la X española medieval (que a veces ha dado J y otra X porque su sonido era intermedio, como en México/Méjico, Jiménez/Jiménez), los matemáticos españoles llamaron a la cosa X y así sigue.

    Para resolver ecuaciones de primer y segundo grado, el hombre no encontró gran dificultad, la situación fue completamente diferente para ecuaciones de grado mayor de 2. En efecto, la ecuación general de tercer grado:

    ... ax3 + bx2 + cx + d = 0

    Requirió consideraciones bastante profundas y resistió todos los esfuerzos de los matemáticos de la antigüedad. Sólo se pudieron resolver a principios del siglo XVI, en la Era del Renacimiento en Italia. Aquí se presentará el ambiente en que aconteció el descubrimiento de la solución de las ecuaciones de tercer grado o cúbicas. Los hombres que perfeccionaron las cúbicas, italianos todos, constituyeron un grupo de matemáticos tan pintoresco como nunca se ha dados en la historia. La mayoría de ellos eran autodidactas, trabajaban en , en problemas de interés compuesto y de seguros.

    Habiéndose elevado por encima del simple cálculo práctico, los grandes algebristas italianos constituían en su mayor parte un grupo sagaz y oportunista que se encontraba en su elemento tanto entre tramposos y jugadores de cartas, espadachines que frecuentaban las Callejas del Renacimiento, como en las cátedras de Universidad, a las que aspiraban y algunas veces ocupaban. Para dar a sus pruebas de agilidad mental sostuvieron entre sí competencias para la solución de problemas. (Algo muy similar a lo que hacían los hindúes siglos antes).

    Para hacer doblemente difícil su deporte, algunas veces hacían apuestas que depositaban en manos de un tercero. El ganador se lo llevaba todo. En esta atmósfera combativa estalló la guerra en torno a la ecuación cúbica. La chispa pudo haber sido encendida, sin querer, por un padre Franciscano, Luca Pacioli, quien en 1492 publicó un compendio de álgebra, la "Suma Aritmética". Con ella transmitió el álgebra inventada hasta la fecha y terminó con la irritante observación de que los matemáticos no podrían todavía solucionar ecuaciones cúbicas por métodos algebraicos.

    El primer hombre en recoger el desafío de Pacioli en torno a las cúbicas fue, como ya dijimos Scipio del Ferro, el hijo de un fabricante de papel, que llegó a ser catedrático de matemáticas en la Universidad de Bolonia. Habiendo encontrado la solución general para todas las ecuaciones cúbicas de la forma simplificada x3 + nx = h.

    Del Ferro mantuvo en secreto su descubrimiento, probablemente para confundir a los adversarios durante las competencias. Pero en sus últimos días confío su solución a un estudiante, Antonio Fior, quien la utilizó en una disputa de álgebra con un rival, Nícolo Fontana, llamado Tartaglia o tartamudo a causa de que padecía este defecto.

    En la época de la contienda con Fior, Tartaglia había pasado a ser uno de los más sagaces solucionadores de ecuaciones de Italia, y había ideado un arma secreta propia: Una solución general para las cúbicas del tipo x3 + mx2 = h

    Como resultado, cuando Fior le dio un grupo de ejemplos específicos del tipo x3 + px + q = 0, le respondió con ejemplos del tipo x3 + mx2 = n. Durante el intervalo concedido para obtener las respuestas, tanto Tartaglia como Fior trabajaron ardorosamente, ocho días antes de finalizar el plazo, Tartaglia había encontrado una solución general para las ecuaciones del tipo x3 + px = q y en dos horas resolvió todas las ecuaciones de Fior; de esta suerte, cuando se acabó el tiempo y llego el día de hacer el cómputo, Tartaglia había solucionado los problemas de Fior y éste no había solucionado los de Tartaglia. Como nuevo e insigne calculador de Italia, Tartaglia pronto se encontró con un rival más fuerte: Gerolamo Cardano, hijo ilegítimo de un abogado y a su vez padre de un asesino. Cardano era un astrólogo que hacia horóscopos para los reyes, un médico que visitaba a sus enfermos y un escritor científico de cuya pluma emanaron montañas de libros. Fue también un jugador inveterano, siempre balanceándose al borde de la prisión. Pero Cardano siempre salía bien parado.

    El Santo Padre lo pensionó solucionándole así sus problemas económicos y Cardano, a base de adulaciones, obtuvo de Tartaglia la solución de la ecuación cúbica.

    Aunque Cardano juró mantener secreta la solución de Tartaglia, la publicó unos cuantos años después, en 1545, en un tratado monumental sobre ecuaciones llamado "Ars Magna" (Gran Arte). Tartaglia, que había estado a punto de escribir su propio libro, pasó el resto de su vida maldiciendo a Cardano por su estafa. No obstante, el libro de Cardano reconocía el descubrimiento de Tartaglia.

    También en el mismo libro, Cardano hizo pasar a la historia a otro matemático: el alborotador y blasfemo Lodovico Ferran que murió a la edad de 43 años, envenenado por su propia hermana. Así como Tartaglia había solucionado la cúbica, de la misma forma Ferran, cuando todavía estudiaba con Cardano, solución de las de cuarto grado o cuárticas (con fórmulas más complicadas que las de tercer grado). Al descubrir la obra de ambos hombres, Cardano en su "Ars Magna" pudo dar al mundo las soluciones generales de las cúbicas y las cuárticas, divulgando los dos avances del álgebra más trascendentales desde la muerte de Diofanto, 1300 años antes.

    En el Ars Magna, Cardano aceptó formalmente el concepto de los números negativos y enunció las leyes que los rigen. También anticipó otro tipo nuevo de número que denominó ficticio o sofisticado. Tal fue la raíz cuadrada de un número negativo, que es incluso más difícil de comprender que un número negativo propiamente, ya que ningún número real multiplicado por sí mismo da un número negativo. En la actualidad los matemáticos llaman a la raíz cuadrada de un número negativo número imaginario; cuando dicha cantidad se combina con un número real, el resultado se llama número complejo. Los matemáticos posteriores han mostrado que los números complejos pueden tener toda clase de aplicaciones.

    En gran parte debido a Cardano, las Matemáticas salieron de su paso por las pugnas del Renacimiento enormemente enriquecidas. El éxito de los matemáticos italianos produjo un gran efecto. Era la primera vez en que la ciencia moderna había sobrepasado las conquistas de los antiguos.

    Hasta entonces, en todo el de la Edad Media, la aportación había consistido solamente en entender el trabajo de los antiguos, y ahora finalmente, ciertas cuestiones que los antiguos no habían tenido éxito en conquistar, fueron resueltas. Y esto sucedió en el siglo XVI, un siglo antes de la invención de nuevas ramas de las matemáticas: Geometría analítica y Cálculo diferencial e Integral que finalmente afirmaron la superioridad de la nueva ciencia sobre la antigua. Después de esto, no hubo matemático importante que no intentara extender las conquistas de los italianos resolviendo ecuaciones de quinto, sexto y más alto grado en forma análoga a los italianos, es decir, encontrando una fórmula general o como se dice actualmente, resolverlas por radicales.

    El prominente algebrista del siglo XVII, Tschimhausen (1651- 1708) creyó haber encontrado un método general de solución. Su método estaba basado en la transformación de una ecuación a otra más simple; pero esta sola transformación requería de algunas ecuaciones auxiliares.

    Más tarde, con un análisis más profundo se demostró que el método de transformación de Tschimhausen, en efecto, da la solución de ecuaciones de segundo, tercero y cuarto grado, pero para una ecuación de quinto grado se necesita resolver primero una ecuación auxiliar de sexto grado, cuya solución no era conocida.

    El famoso matemático francés Lagrange en su gran trabajo "Reflexiones sobre la solución de ecuaciones algebraicas" publicado en 1770-1771, ( con más de 200 páginas) críticamente examina todas las soluciones de las ecuaciones de segundo, tercer y cuarto grado conocidas hasta su época y demostró que su éxito siempre se basa en propiedades que no cumplen ecuaciones de quinto grado y superiores. Desde el tiempo de Del Ferro hasta este trabajo de Lagrange, más de dos siglos y medio habían pasado y nadie durante este gran intervalo había dudado de la posibilidad de resolver ecuaciones de quinto grado y mayores por radicales, esto es, de encontrar fórmulas que envuelven sólo operaciones de suma, resta, multiplicación, división, exponenciación y raíces con exponentes enteros positivos, que pueden expresar la solución de una ecuación en términos de los coeficientes, esto es, fórmulas similares a aquélla por la que se había resuelto la ecuación de segundo grado en la antigüedad y a aquéllas encontradas por los italianos para las ecuaciones de tercero y cuarto grados. Los matemáticos pensaron que sus fracasos se debían principalmente a su propia incapacidad para encontrar una solución. Lagrange dice en sus memorias:

    "El problema de resolver (por radicales) ecuaciones cuyo grado es más alto que el cuarto es uno de esos problemas que no han sido resueltos aunque nada prueba la imposibilidad de resolverlos". Lagrange avanzó bastante en la teoría de las ecuaciones algebraicas formalizando el trabajo anterior a su época y descubriendo nuevas relaciones entre esta teoría y otras como la teoría de las permutaciones. Sin embargo, a pesar de sus persistentes esfuerzos, el problema permaneció sin solución y constituía, en palabras del mismo Lagrange, "Un reto para la mente humana".

    Consecuentemente fue una sorpresa enorme para todos los matemáticos cuando en 1824 vino a la luz el trabajo de un joven genio noruego llamado Niels Henrik Abel (1802 - 1829), en el cual se daba una prueba de que si los coeficientes de una ecuación se tomaban simplemente como letras, entonces no existe ninguna expresión algebraica con dichos coeficientes que fuera solución de la ecuación correspondiente. Entonces, por tres siglos los esfuerzos de los más grandes matemáticos de todos los países para resolver ecuaciones de grado mayor que cuatro por radicales no fue coronado por el éxito por la sencilla razón de que éste problema simplemente no tiene solución.

    Esas fórmulas son conocidas para ecuaciones de segundo, tercero y cuarto grado, pero para ecuaciones de grado mayor no existen tales fórmulas

    Pero eso no es todo aún. Un resultado extremadamente importante en la teoría de las ecuaciones algebraicas esperaba todavía ser descubierto. El hecho es que hay muchas formas especiales de ecuaciones de cualquier grado que sí se pueden resolver por radicales, y muchas de ellas son exactamente las que son importantes para resolver problemas concretos de la realidad.

    Resumiendo, después del descubrimiento de Abel la situación era la siguiente:

    Aunque la ecuación general de grado mayor que 4 no se podía resolver por radicales, hay un número ilimitado de ecuaciones de grado mayor a cuatro que sí se pueden resolver por radicales. La pregunta era ¿cuáles ecuaciones sí se pueden resolver por radicales y cuáles no? o en otras palabras: ¿qué condiciones debe cumplir una ecuación para que pueda ser resuelta por radicales? La respuesta a este problema que daba fin a todo éste asunto de las ecuaciones la dio el brillante matemático francés Evariste Galois. (1811-1832).

    A pesar de lo corto de su vida, Galois hizo descubrimientos muy avanzados para su tiempo en muchas ramas de las matemáticas y en particular dio la solución al problema que quedaba pendiente en la teoría de las ecuaciones algebraicas en un pequeño manuscrito titulado "Memoria sobre las condiciones para resolver las ecuaciones por radicales", que fue escrito en treinta y un páginas casi ininteligibles escritas de prisa la noche antes del duelo en que fue muerto a la edad mencionada de 20 años.

    En todo lo anterior hablamos de los intentos durante tres siglos, para resolver por radicales cualquier ecuación de cualquier grado. El problema resultó ser más difícil y más profundo de lo que se pensaba en un principio y dio origen a la creación de nuevos conceptos, importantes no sólo para el álgebra sino también para las matemáticas en general. Para la solución práctica de las ecuaciones el resultado de todo este trabajo fue el siguiente:

    Quedó claro que una fórmula general para las ecuaciones está muy lejos de existir y aun en los casos particulares en que existe, era de poca utilidad práctica a causa de las operaciones sumamente complicadas que se tenían que hacer. (Actualmente las computadoras facilitan todo ese trabajo).

    En vista de lo anterior, los matemáticos desde hace mucho empezaron a trabajar en tres direcciones completamente diferentes, que son:

    En el problema de la existencia de raíces (soluciones).

    En el problema de saber algo acerca de las soluciones, sólo trabajando con sus coeficientes.

    En el cálculo aproximado de las raíces o soluciones de una ecuación.

    RECONOCIENDO LAS ECUACIONES

    En una ecuación existen cantidades desconocidas (incógnitas), que en general se designan por letras minúsculas de la parte final del alfabeto: x, y, z y cantidades conocidas (coeficientes), que pueden designarse por letras minúsculas iniciales del alfabeto: a, b, c. Lo anterior lo introdujo el matemático René Descartes en 1637.

    En la ecuación: ax + b = c

    a, b y c son coeficientes, x es la incógnita

    En la ecuación 5z ? 4 = 16

    Los coeficientes son los enteros 5, 4, y 16 y la incógnita es z.

    Llamaremos raíces o soluciones de la ecuación a los valores de las incógnitas que cumplen la igualdad.

    Ejemplos:

    Si voy al Correo con s/. 500 y quiero despachar 3 cartas (franqueo nacional: S/.1,,50) ¿qué vuelto recibiré? Si v representa el valor del vuelto, éste tiene que cumplir:

    500 = 3 x 150 + v

    En la ecuación anterior v es la incógnita y el valor v = 50 es la solución.

    Clasificación de las ecuaciones con una incógnita:

    Las ecuaciones se catalogan según el exponente o potencia más alto que tenga la incógnita.

    Así,

    6x + 34 = 5 es una ecuación de primer grado.

    8x2 + 7x +45 = 3 es una ecuación de segundo grado.

    4 x3 + 35 x2 ?3x + 2 =7 es una ecuación de tercer grado.

    Resolución de ecuaciones

    Resolver una ecuación es encontrar el o los valores de la incógnita que satisface la igualdad.

    Por ejemplo la ecuación:

    500 = 450 + v (el caso del vuelto)

    se satisface para

    v = 50

    Luego el vuelto de franquear 3 cartas con s/.500 es s/.50.

    En caso que el valor de la incógnita no se pueda encontrar por inspección se procede a

    En situaciones reales la solución de la ecuación debe tener sentido en el contexto en que se trabaja.

    Notemos los siguientes casos:

    a) Pertinencia de la solución:

    Se quiere repartir equitativamente 24 dulces a 5 niños. Sea x la cantidad de dulces que corresponde a cada niño, x debe ser un número natural que satisfaga la ecuación:

    5 x = 24

    La ecuación anterior no tiene solución en los naturales (N).

    b)Existencia de la solución

    La ecuación

    4x + 5 = 2

    No tiene solución en los naturales (N) ni en los enteros (Z) sino que en los racionales y en los reales.

    La ecuación

    4x.x = -7

    No tiene solución en los reales (R) ya que no existe ningún número real que la satisfaga.

    c) Infinitas soluciones

    La ecuación

    2 + x + x = 2(x+1)

    Es una ecuación que es satisfecha por cualquier valor que tome x, luego tiene infinitas soluciones

    VI.- SESIÓN DE APRENDIZAJE

    6.1.- TITULO:

    APRENDEMOS A RESOLVER ECUACIONES APLICANDO LAS PEOPIEDADES DE LOS NUMEROS NATURALES

    6.2.- JUSTIFICACIÓN

    Los niños y niñas del cuarto grado de Primaria de la Institución educativa Nº 14970 del caserío El Barco, comprensión de la Provincia de Sechura desconocen la importancia de aprender a resolver ecuaciones ,esto debido al desinterés que muestran sus padres y ellos mismos en el proceso educativo.

    Se pretende dar a conocer en esta sesión de aprendizaje la forma como el niño (a) logra aprender dichos contenidos para su propio beneficio.

    6.3.- COMPETENCIA

    • Resuelve ecuaciones y crea problemas matemáticos relacionados con situaciones cotidianas para cuya solución se requiere de la adición y sustracción, multiplicación y división de números naturales
    • Demuestra confianza en sus propias capacidades y perseverancia en la búsqueda de soluciones

    CAPACIDADES ACTITUDES

    • Analiza el enunciado de una ecuación para identificar los componentes y la incógnita de la misma a fin de lograr una solución acertada
    • Aplica técnicas operativas o estrategias propias para resolver problemas de ecuaciones
    • Resuelve ecuaciones y problemas aplicando la propiedades de adición sustracción, multiplicación y división de los números naturales relacionados con las actividades que se desarrollan en su entorno (compra venta, mediciones, etc.).

    6.4.- GRADO DE ESTUDIOS : 4º GRADO DE PRIMARIA

    6.5.- ORGANIZACIÓN DEL APRENDIZAJE

    MOMENTOS

    ACTIVIDADES

    MEDIOS Y MATERIALES

    TIEMPO

    INICIO

    • El docente plantea una situaron actual "Ala de precios constantes" y lo hace en forma de ecuaciones
    • Se extraen saberes previos a través de conceptos , resolución de ejercicios.
    • Los niños y niñas se organizan por grupos de trabajo con la dinámica "Las frutas" (Anexo 1)

     

    • Palabra oral
    • Pizarra
    • Tizas
    • Mota
    • Pizarra
    • Tiza
    • Mota
    • Palabra oral
    • Pizarra
    • Tizas
    • Mota

     

     

    15¨

     

    PROCESO

     

    • Los niños analizan la ficha informativa (anexo 2)
    • Se les distribuye cuartillas conteniendo ecuaciones y problemas para que formulen sus planteamientos
    • Dialogan y comentan al respecto
    • El docente alcanza una hoja practica conteniendo problemas sobre ecuaciones (Anexo 3)
    • El docente pregunta

    ¿Cómo se verifican los resultados de una ecuación?

    • Da las pautas para verificar los ejercicios de ecuaciones.

     

     

    • Ficha informativa
    • Cuartillas conteniendo ecuaciones
    • Ficha informativa
    • Texto De Matemática
    • Papelotes
    • Plumones
    • Regla
    • Lápices de Colores

     

    50´

     

    TERMINO

    • Los niños hacen uso del texto Lógico Matemático y desarrollan las ecuaciones.
    • Crean problemas teniendo en cuenta situaciones de la vida cotidiana, aplican las propiedades de los números naturales y demuestran los resultados verificándolos.
    • Desarrollan practica Calificada ( Anexo 4)
    • Texto de Lógico Matemática
    • Lapicero, lápiz de color
    • Cuaderno de apuntes
    • Lapicero
    • Regla
    • Pizarra

    20´

    VII.- EVALUACIÓN

    CAPACIDADES

    INDICADORES

    INSTRUMENTO

    TIPO

    A

    C

    H

    • Analiza el enunciado de una ecuación para identificar los componentes y la incógnita de la misma a fin de lograr una solución acertada
    • Aplica técnicas operativas o estrategias propias para resolver problemas de ecuaciones
    • Resuelve ecuaciones y problemas aplicando la propiedades de adición sustracción, multiplicación y división de los números naturales relacionados con las actividades que se desarrollan en su entorno (compra venta, mediciones, etc.).

     

    • Identifica los componentes de la ecuación

     

    • Desarrolla problemas de ecuaciones de manera individual y grupal y comunica los resultados obtenidos

     

    • Aplica las propiedades de los números naturales para dar solución a las ecuaciones planteadas por el docente

     

    Ficha de observación

     

    Ficha de observación

     

     

    Ficha e observación

     

     

     

     

     

    X

     

     

    X

     

     

    X

    A : Auto evaluación

    C : Coevaluacion

    H : Heteroevaluacion

    VIII. RECOMENDACIONES

    1. El tratamiento del concepto de ecuación y su identificación de componente debe partir de dar un ejemplo , para que después , tras la solución el docente denote sus componentes y como actúan en la solución del problema.
    2. Los problemas sobre ecuaciones deben ser formulados tomando como base la realidad y el contexto en donde vive e interactúa el alumno, de manera que le sea fácil su comprensión y solución
    3. El docente necesita conocer a sus alumnos y alumnas: debe llamarlos por su nombre, tener un registro personal (situación familiar, estado de salud, etc.), conocer sus logros y dificultades, tener una idea sobre su carácter, fortalezas, debilidades, temores, etc.
    4. El docente debe ser consciente de su rol como organizador, guía, , facilitador de los aprendizajes de sus alumnos y alumnas. Es necesario que reflexione sobre su comportamiento como persona y profesional de la educación, tanto en su aula como fuera de ella.
    5. Los problemas sobre ecuaciones deben ser formulados en base a situaciones reales, es decir ,las situaciones vinculadas con sus juegos, sus deportes, la vida familiar, su cultura, su historia, su comunidad, son, en este sentido, significativas.
    6. El uso del texto Lógico Matemática debe ser estructurada como una guía para el alumno , un complemento e la información dada por el profesor , mas debe evitarse que su uso implique la copia o genere el facilismo en los alumnos al momento de dar solución a las ecuaciones
    7. En el proceso de evaluación debemos tener en cuenta los resultados, pero también las condiciones iniciales, las estrategias puestas en marcha, los procesos desencadenados, los ritmo de consecución, la proporción rendimiento /esfuerzo ,etc.

    IX. BIBLIOGRAFÍA

    Del docente

    1. CARDOZA PEÑA, Miguel ( 2004). " La enseñanza de la Matemática. Pedagogía y Didáctica". Universidad Nacional de Ingeniería, Lima, Perú, 100 pp.
    2. PEREZ YUPANQUI, Joel (2000). " La enseñanza de la matemática en el Nivel Primario". En : Editorial San Marcos. Tomo II. Colección "Historia General del Perú". Lima, Perú.
    3. MENDAÑA, Arturo ( 2004). "Didáctica de la Matemática" Editorial Abedul. Lima, Perú, 120 pp.

    Del alumno

    1. SANTILLANA , Editores. ( 20003) "Lógico Matemática" Texto para el Cuarto Grado de Primaria. Editorial Santillana, Lima Perú

    X. ANEXOS

    FICHA INFORMATIVA

    ( ANEXO 2)

    LA ECUACIONES

    El misterio de las ecuaciones

    Antes de hablar de ecuaciones necesitamos identificar el concepto de igualdad.

    Llamamos igualdad a elementos que tienen el mismo significado, como podemos ver en los siguientes ejemplos:

    3 + 2 = 5 7 1 = 9 - 2

    En cada igualdad hay 2 miembros separados por el signo =

    Primer miembro: en el primer ejemplo es 3 + 2; en el segundo, 7 .1

    Segundo miembro: en el primer ejemplo 5 ; en el segundo, 9 - 2.

    Ahora que conocemos las igualdades, podremos desarrollar el concepto de ecuación.

    Definición

    Una ecuación es una igualdad en la que se desconoce un término de uno de los miembros. Ese término desconocido, llamado también incógnita, se nombra con una letra. Generalmente esa letra es la x.

    Por ejemplo:

    5 + x = 12

     

    La x representa al número que, sumado con 5, tiene como suma al 12. Para saber cuál es el término que falta, en este caso aplicamos la operación inversa: sustracción.

    x = 12 - 5

    x = 7

    En esta ecuación el valor de x es 7, porque 5 + 7 = 12.

    Con decimales

    Resolver la ecuación es bastante simple si utilizamos numerales pequeños. Veamos lo que sucede con ejemplos en el ámbito de los decimales:

    x  - 4,25 = 32,3 0,6 Resolvemos el 2º miembro.

    x  - 4,25 = 19,38 Aplicamos operación inversa a la del primer miembro.

    x = 19,38 + 4,25 Sumamos

    x= 23,63 Este es el valor de la incógnita.

    Comprobamos si es efectivo reemplazando la x por su valor:

    Resolviendo problemas

    Las ecuaciones son una forma rápida y efectiva para resolver problemas.

    Comprobémoslo con un ejemplo.

    Mi hermano mide 1,82 metros, que equivalen a la estatura de mi papá aumentada en 0,03 metros. ¿Cuánto mide mi papá?

    Estatura del papá: x

    Aumentada = más 0,03

    Estatura de mi hermano: 1,82

    Escribiendo la ecuación, queda así:

    x + 0,03 = 1,82

    Aplicamos la operación inversa:

    x = 1,82 - 0,03

    x = 1,79

    Hay muchos problemas cuyo enunciado literal se transforma en una expresión matemática relacionada con números.

    Por ejemplo, si tenemos que el doble de un número es igual a 3,5 + 26,3. Transformamos a:

    2x = 3,5 + 26,3 Sumamos

    2x = 29,8 Inverso de la multiplicación de 2

    x = 29,8 : 2

    x = 14,9 El número es 14,9

     Expresiones matemáticas

    El doble de un número: 2 x

    El triple de un número: 3 x

    La mitad de un número: x : 2

    El número aumentado en 5,3 x + 5,3

    El número disminuido en 3,9 x - 3,9

    Dos números consecutivos: x y x + 1

    Espero que estos contenidos te ayuden a conocer que es la ecuación y a resolver los problemas con ecuaciones

    INDICADORES

    SI

    NO

    Anote adecuadamente la ecuación

    Comprendí adecuadamente el problema para establecer la ecuación

    ¿He utilizado todos los datos?

    ¿He planteado bien la ecuación?

    Logre establecer el valor de x?

    ¿Está bien elegida la incógnita?

    ¿La ecuación está bien resuelta?

    ¿Seguí el método adecuado y enseñado por el profesor?

    Logre sistematiza la información

    LISTA DE COTEJOS

    Rudy Mendoza Palacios

    Piura -Perú

    rudy_mendoza2[arroba]yahoo.es

    Wild462[arroba]hotmail.com

    wildyoung[arroba]gmail.com

    Otros Trabajos del Autor :

    http://www.ilustrados.com/curriculum/cv/EEklFVpVylyguVZXpL.html

    http://www.monografias.com/trabajos22/violencia-familiar/violencia-famil...

    http://www.monografias.com/trabajos21/pedagogia-conceptual/pedagogia-con...



    Artículo original: Monografías.com

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