Apuntes sobre estimación de recursos y reservas

    1. Introducción
    2. Sistemas y criterios de clasificación de recursos y reservas
    3. Métodos clásicos de estimación de reservas
    4. Análisis exploratorio de datos
    5. Métodos de estimación de reservas asistido por computadoras
    6. Métodos de estimación espacial
    7. Consideraciones finales
    8. Bibliografía

    Introducción

    Por estimación de recursos entendemos la determinación de la cantidad de materia prima contenida en un yacimiento o en una de sus partes. La mayoría de los recursos y reservas se calculan en toneladas métricas, solo la de los metales preciosos (oro, plata  y platino) se calculan en kilogramos, los diamantes en quilates y las reservas de gas natural, arena, piedras para la construcción, agua subterráneas, se estiman en metros cúbicos. Esta cuantificación formal de las materias primas minerales estimada por procedimientos empíricos o teóricos se denomina Inventario Mineral. Este a su vez se expresa en términos de recurso y reservas.

    La estimación de recursos es un fin de cada etapa de los trabajos de prospección y exploración de yacimientos minerales y este proceso continua durante la explotación del depósito. Todos los trabajos de exploración de un yacimiento contribuyen ante todo a la estimación de las materias primas minerales.

    La estimación de recursos/reservas se considera un proceso continuo que se inicia con la exploración y recopilación de la información seguida de la interpretación geológica y la estimación de recursos. Posteriormente se consideran los factores modificadores (mineros, metalúrgicos, ambientales, legales etc.) y se arriba al estimado de reservas. Durante las operaciones de la mina los estimados previamente calculados son modificados por los resultados del control de ley y los estudios de reconciliación. En estos apuntes se hace mayor hincapié en la estimación de los recursos.

    Estos trabajos  tienen como objetivo fundamental la mejor estimación de la ley y el tonelaje de los bloques de un cuerpo mineral así como determinar los errores probables de la estimación  con cierto nivel de confianza. La relevancia de las estimaciones depende de la calidad, cantidad y distribución espacial de las muestras y el grado de continuidad de la mineralización.

    La cantidad de reservas de un yacimiento, como uno de los factores principales que determinan su viabilidad económica, posee una gran influencia en la vida útil del yacimiento, su producción anual y la decisión final de construir la minera.

    Los distintos métodos de estimación de recursos que se emplean en la actualidad son definidos por los principios de interpretación  empleados y las técnicas de interpolación espacial. Así tenemos los métodos clásicos de cálculos desarrollados y utilizados desde los principios de la minería hasta nuestros días, que se basan en procedimientos manuales y donde los principales parámetros son estimados a partir de la media aritmética y la media ponderada. Por otra parte,  los métodos asistidos por computadoras que incluyen el método de ponderación por el inverso de la y los geoestadísticos y que se fundamentan en procedimientos matemáticos de interpolación definidos a partir de información espacial y estadística presente en los datos.  Estos métodos surgieron con el desarrollo de las computadoras.

    Actualmente con la disponibilidad de computadoras y software a precios accesibles existe una tendencia en las mineras y las organizaciones gubernamentales al empleo de métodos computarizados en detrimento de los métodos clásicos. Es necesario resaltar que en algunos tipos de yacimientos minerales (Eje. Placeres) producto de la disposición espacial y la cantidad de datos, la variabilidad espacial de los parámetros y el método de exploración empleado, los métodos clásicos brindan los mejores resultados.

    Por lo anteriormente expuesto queda claro que la estimación de recursos es de vital importancia para el éxito de una inversión minera, por lo que  los cálculos de la ley y el tonelaje deben ser lo más confiable posible a partir de las muestras disponibles, la calidad de los análisis y la definición de los controles geológicos de la mineralización.

    1 Sistemas y criterios de clasificación de recursos y reservas

    El éxito de cualquier negocio minero depende directamente de la calidad de las estimaciones de los recursos y reservas realizadas a partir de la información generada durante las campañas de exploración. Este cálculo, como cualquier estimación basada en un número limitado de muestras  esta sujeto a variaciones o errores respecto al valor real. De aquí precisamente surge la necesidad de establecer clasificaciones de recursos que indican los de las estimaciones realizadas.




    Los principales sistemas de clasificación que se emplean hoy en el mundo se fundamentan en la confianza geológica y en la viabilidad económica. Todos los esquemas de clasificación hacen uso del grado de confiabilidad o certidumbre como factor discriminante entre las distintas clases, entre tanto ninguno de esos sistemas   muestran claramente como calcular el error asociado con cada estimación. Un elemento que complica aun más el proceso de categorización es la imposibilidad de cuantificar el error cometido en la creación del modelo geológico del yacimiento. Producto de las dificultades encontradas en cuantificar el error de estimación, los sistemas de clasificación se apoyan más en aspectos cualitativos que en medidas  reales de la dispersión de los valores obtenidos.  Dado este elemento de subjetividad es que se introduce en la mayoría de los sistemas de clasificación el concepto de persona competente (ver código JORC).

    Los principales métodos a través de los cuales los recursos minerales  pueden ser categorizados se dividen en 2 grupos: (1) Criterios tradicionales o clásicos,  (2) Criterios geoestadísticos.

    1.1 Métodos tradicionales de categorización

    Los métodos tradicionales de categorización hacen uso de los siguientes criterios.

    Continuidad geológica- La clasificación de recursos y reservas minerales depende en primer lugar de la comprensión de la génesis del yacimiento y de la valoración de la continuidad geológica del volumen mineralizado. Aquí es muy importante establecer la continuidad física o geometría de la mineralización o de las estructuras controladoras.  La continuidad física o geométrica no es fácilmente cuantificable. Para establecer este tipo de continuidad es necesario interpretar los datos disponibles y establecer el modelo geológico del yacimiento sobre la base del conocimiento existente y la experiencia previa obtenida en depósitos similares.

    Densidad de la red de exploración (grado de estudio) -Para las distintas categorías se recomienda un  determinado espaciamiento  de la red de exploración  lo cual está en función del tipo de yacimiento.  Las redes para cada categoría  se argumentan sobre la base de la experiencia (principio de analogía) en otros yacimientos similares (tabla #1.1)

    Tabla # 1.1 Ejemplo

    Tipos de yacimiento

    Densidad de la red para las distintas clases de recursos

    Medida

    Indicada

    Inferida

    Yacimiento de carbón

    De Witbank (Africa del Sur)

    250 x 250m

    350 x350 m

    500 x 500m

    Yacimiento de Oro de Saddleback

    (Australia)

    25 x 25 m

    50 x 50 m

    100 x 100m

    Yacimiento de Niquel Laterítico

    25 x 25 m

    50 x50 m

    100 x 200 m

    Placeres de minerales pesados.

    200 x40 m

    400 x 80 m

    Continuidad geológica

    de clasificación en función de la densidad de la red de exploración.

    Interpolación contra extrapolación - Los bloques cuyos valores han sido estimados por interpolación o sea están localizados  dentro de la red de muestreo son clasificados en categorías más confiables que los localizados más allá de la última línea de pozos (extrapolados). La mayoría de los sistemas de clasificación exige no incluir bloques extrapolados en la clase de recursos medidos.

    Consideraciones tecnológicas - incluye determinados aspectos que pueden ser utilizados para discriminar o rechazar un recurso en una categoría dada. Como ejemplo se pude citar la presencia de elementos perjudiciales que impiden la buena recuperación o hacen extremadamente cara la extracción del componente útil durante el proceso de beneficio.

    Calidad de los datos- La recuperación del testigo, el volumen de las muestras, la forma en que fueron tomadas y el método de perforación influyen directamente sobre la calidad de los datos. Los sectores donde existen problemas de representatividad o confiabilidad de los análisis deben ser excluidos de la categoría de recurso medido.

    1.2 Criterios geoestadísticos de categorización

    Yamamotto, 1991 considera que los esquemas de clasificación de reservas basados en medidas reales de la dispersión son más confiables  pues reflejan, sobre todo, la cantidad y la calidad de la información empleada para evaluar las reservas. Estos esquemas fueron denominados genéricamente clasificaciones geoestadísticas  pues se basan en la varianza Kriging.

    En este sentido, se recomienda la Geoestadística  como procedimiento válido y confiable en la mayoría de los sistemas de clasificación, convirtiéndose en un estándar en la estimación de recursos minerales.

    El código propuesto por la ONU, por ejemplo, propone el uso de la Geoestadística para clasificar los recursos pues permite de forma rápida y sin ambigüedad identificar las categorías de recursos y reservas minerales (UN-ECE,1996). Algunos de los principales criterios geoestadísticos que han sido empleados o propuestos para la clasificación  de recursos se explican a continuación.

    1.2.1 Alcance del variograma

    El variograma permite cuantificar la continuidad o nivel de correlación entre las muestras que se localizan en una zona mineralizada dada. El grado de esa correlación ha sido frecuentemente utilizado para clasificar los recursos y reservas. Froidevaux  (1982) propuso 3 clases de clasificación:

    Bloques en el área muestreada  ubicados dentro del  radio de influencia definido por el alcance del variograma.

    Bloques en el área muestreada  ubicados más allá del  radio de influencia definido por el alcance del variograma

    Bloques dentro del yacimiento, ubicados a una grande de los pozos (incluyendo los bloques extrapolados)

     Típicamente se han empleado 2 enfoques para clasificar  los recursos  usando el variograma

    El primero se basa en la subdivisión arbitraria del alcance observado. Ejemplo, todos los bloques estimados con un número mínimo de muestras  y ubicados dentro de un determinado  radio de influencia podrían ser clasificados como recursos medidos mientras que todos los bloques estimados con cierto número mínimo de muestras y localizados más allá del radio de influencia serían clasificados como indicados.

    En el segundo enfoque las categorías de recursos están basadas en los valores de la meseta. Por ejemplo, los bloques comprendidos dentro de un alcance del variograma correspondiente a 2/3 del valor de la meseta pueden ser clasificados como medidos, el resto son indicados.

    1.2.2 Varianza Kriging

    El kriging permite obtener, además de la estimación del valor de un bloque, una indicación de la precisión local a través de la varianza kriging (Vk). Desde el inicio del desarrollo del Kriging la Vk ha sido empleada para determinar los intervalos de confianza de las estimaciones. Para esto es necesario asumir que esta se ajusta a un modelo normal o lognormal. Sin embargo, en la práctica es raro que los errores de estimación se subordinen a estos modelos de distribución.

    Como para el cálculo de la varianza kriging se emplea solamente la configuración de las muestras en el espacio y no sus valores locales, esta no debe ser interpretada como una medida de la variabilidad local. Por otra parte como Vk es calculado a partir del variograma medio del yacimiento no es solo un índice de la disposición espacial de las muestras sino también caracteriza las varianzas medias globales permitiendo la discriminación entre las clases o categorías de recursos.

    Este enfoque no es reciente y ha sido utilizado a lo largo de muchas décadas, como se puede constatar en la tabla # 1.2 que resume las categorías de la clasificación sugerida por Diehl  y David (1982) y Wellmer (1983), basadas en la cuantificación del error utilizando la desviación estándar kriging.

    Tabla # 1.2 Clasificación de recursos/reservas basada en la cuantificación del error a partir de la desviación estándar kriging

     

    El método propuesto por Diehl y David (1982) se basa en definir niveles de confianza y de  precisión (error): la precisión se expresa en función de la desviación estándar kriging y el valor estimado kriging

    Precisión = (skx100xZ1-a) / tki

    Donde  sk es la desviación estándar  kriging

                 tki   Valor  del bloque estimado por kriging

                 Z1-a   Valor de la variable estandarizada distribuida normalmente con un nivel           de confianza (1- a)

    Si se fija la precisión en 10 % (reservas probadas) entonces se puede determinar la razón sk/ tki que divide las reservas  probadas de las probables

    10==(skx100xZ80)/ tki

    sk/ tki=10/(100x1.282)=0.078

    Es bueno señalar que no existe consenso internacional sobre los niveles de confianza y precisión que deben tener las distintas categorías de reservas. 

    El segundo método para categorizar los recursos se basa en la construcción de la función de densidad de probabilidades o el histograma de las varianzas kriging (Annels, 1991). El histograma se examina para detectar evidencias de poblaciones complejas que pueden representar 3 poblaciones superpuestas (probable, posible e inferida). Esta situación se refleja en la figura. 1.1

    Figura 1.1  Histograma de las varianzas kriging (Vk) segmentado en 3 poblaciones: 1)0-0.0075 -Reservas probables, 2) 0.0075-0.0135 -Reservas posibles 3)>0.0135 -Reservas inferidas (Annels, 1991)

    Método del Error porcentual de la estimación de la media

    Según Valente (1982), el error porcentual de la estimación de la media, para un conjunto den  bloques estimados para un 95 % de probabilidad, se puede calcular por la  expresión:

    Donde tki y s2ki  son los valores estimados por kriging y la varianza  kriging  de cada uno de los bloques.

    La utilización de este error para la clasificación de recursos y reservas fue recomendado por la ONU a las instituciones financieras internacionales (Valente, 1982). La tabla # 1.3 representa las 3 categorías de reservas clasificadas según el error kriging de la media para un nivel de probabilidad del 95 %.

    Tabla # 1.3 Clasificación de reservas a partir de la utilización del error kriging de la media.

    Reserva

    Error kriging de la media

    Medida

    < 20 %

    Indicada

    20 %-50 %

    Inferida

    >50 %

    También existen otros criterios y métodos que no serán abordados en este material como son la simulación condicional para construir modelos de incertidumbre, la medida de eficiencia de los bloques (Krige, 1986) y la desviación estándar de la interpolación (Yamamoto, 1989) entre otros. 

    1.3 Desarrollo histórico de un sistema internacional de clasificación de recursos y reservas

    Desde el inicio de la década de los 90 se ha desarrollado un esfuerzo sistemático por crear patrones internacionales para la estimación, reporte de la información de exploración y la clasificación de recursos y reservas.

    El código de Australasia para informar sobre recursos minerales y  reservas (código JORC) fue publicado en Junio de 1988 e incorporado a las normas de la bolsa de Australia. En 1990 fue  publicada una guía para el código JORC. Después de este hecho la SME (US Society for Minig, Metallurgy, and Exploration) publicó una guía para informar sobre datos de exploración, recursos minerales y reservas.  En 1991 en el Reino Unido el IMM (Institute of Mining and Metallurgy) revisó sus patrones para informar sobre recursos y reservas basándose principalmente  en el código JORC de 1988.

    En septiembre de 1994 en el 15 Congreso del CMMI (Council of Mining and Metallurgical Institutions) celebrado en Sudáfrica, se organizó una reunión con el objetivo específico de discutir los estándar internacionales, esto resultó ser el primer encuentro de lo que posteriormente fue llamado el Grupo CMMI (International Resource/reserve definitions group).

    El Grupo CMMI, compuesto por representantes de Australia (AusIMM), África del Sur (SAIMM), Estados Unidos ( SME), Reino Unido (IMM) y Canadá (CIM), tenía como objetivo desarrollar  un conjunto de definiciones internacionales relacionadas con los recursos minerales y las reservas de mena.

    De la misma forma en 1992 las Naciones Unidas creó una comisión para desarrollar un sistema internacional de clasificación de recursos y reservas, el cual salió a la luz en 1996 bajo el nombre de Marco Internacional de las Naciones Unidas para la clasificación de reservas/recursos - Combustibles sólidos y sustancias minerales  ("United Nations International Framework Classification for reserve / resource-Solid fuels and mineral Commodity ").

    El primer gran avance ocurrió en octubre de 1997 en el encuentro del grupo CMMI en Denver Colorado y la aprobación del llamado acuerdo de Denver donde se logró un consenso sobre un conjunto de definiciones de recursos y reservas. En 1998 en Ginebra, Suiza se llevo a cabo un encuentro entre el grupo CMMI y la comisión de Naciones Unidas, donde las definiciones y patrones del CMMI fueron incorporados, con pequeñas modificaciones, al sistema de clasificación de las Naciones Unidas, dándole un carácter verdaderamente internacional  a las definiciones del CMMI.

    Después de encuentro  Australia, África del Sur  y Estados Unidos iniciaron la actualización de sus sistemas nacionales de clasificación

    En noviembre de 1999 hubo un nuevo encuentro entre el Grupo CMMI y la comisión de Naciones Unidas para continuar el proceso de desarrollo de normas  y definiciones internacionales. Con pequeñas e insignificantes diferencias entre los países los siguientes términos han sido aceptados (fig. 1.2):

    Recursos minerales es una concentración u ocurrencia de material de interés económico intrínseco en o sobre la corteza de la Tierra en forma y cantidad en que haya probabilidades razonables de una eventual extracción económica. La ubicación, cantidad, ley, características geológicas y continuidad de un Recurso Mineral son conocidas, estimadas o interpretadas a partir de evidencias  y conocimientos geológicos específicos. Los Recursos Minerales se subdividen, en orden ascendente de la confianza geológica, en categorías de Inferidos, Indicados y Medidos.

    Figura 1.2 Relación general entre Resultados de Exploración, Recursos y Reservas Minerales

    Recurso Mineral Inferido es aquella parte de un Recurso Mineral por la cual se puede estimar el tonelaje, ley y contenido de mineral con un bajo nivel de confianza. Se infiere a partir de evidencia geológica y se asume pero no se certifica la continuidad geológica ni de la ley. Se basa en información inferida mediante técnicas apropiadas de localizaciones como pueden  ser afloramientos, zanjas, rajos, laboreos y sondajes que pueden ser limitados o de calidad y confiabilidad incierta.

     Recurso Mineral Indicado es aquella parte de un Recurso Mineral para el cual puede estimarse con un nivel razonable de confianza el tonelaje, densidad, forma, características físicas, ley y contenido mineral. Se basa en información sobre exploración, muestreo y pruebas reunidas mediante técnicas apropiadas en ubicaciones como pueden  ser: afloramientos, zanjas, rajos, túneles, laboreos y sondajes. Las ubicaciones están demasiado espaciadas o su espaciamiento es inapropiado para confirmar la continuidad geológica y/o de ley, pero está espaciada con suficiente cercanía para que se pueda suponer continuidad.

    Recurso Mineral Medido es aquella parte de un Recurso Mineral para el cual puede estimarse con un alto nivel de confianza el tonelaje, su densidad, forma, características físicas, ley y contenido de mineral. Se basa en la exploración detallada e información confiable  sobre muestreo y pruebas obtenidas mediante técnicas apropiadas de lugares como pueden ser afloramientos, zanjas, rajos, túneles, laboreos y sondajes. Las ubicaciones están espaciadas con suficiente cercanía para confirmar continuidad geológica y/o de la  ley.

    Reserva Minerales es la parte económicamente explotable de un Recurso Mineral Medido o Indicado. Incluye dilución de materiales y tolerancias por pérdidas que se puedan producir cuando se extraiga el material. Se han realizado las evaluaciones apropiadas, que pueden incluir estudios de factibilidad e incluyen la consideración de  modificaciones por factores razonablemente asumidos de extracción, metalúrgicos, económicos, de , legales, ambientales, sociales y gubernamentales. Estas evaluaciones demuestran en la fecha en que se reporta que podría justificarse razonablemente la extracción. Las Reservas de Mena se subdividen en orden creciente de confianza en Reservas Probables Minerales y Reservas Probadas Minerales

    Reserva Probable Minerales es la parte económicamente explotable de un Recurso Mineral Indicado y en algunas circunstancias Recurso Mineral Medido. Incluye los materiales de dilución y tolerancias por pérdidas que puedan producirse cuando se explota el material. Se han realizado evaluaciones apropiadas, que pueden incluir estudios de factibilidad, e incluyen la consideración de factores modificadores razonablemente asumidos de minería, metalúrgicos, económicos, de mercadeo, legales, medioambientales, sociales y gubernamentales. Estas evaluaciones demuestran a la fecha en que se presenta el informe, que la extracción podría justificarse razonablemente

    Reserva Probada Minerales es la parte económicamente explotable de un Recurso Mineral Medido. Incluye los materiales de dilución y tolerancias por pérdidas que se pueden producir cuando se explota el material. Se han realizado evaluaciones apropiadas que pueden incluir estudios de factibilidad, e incluyen la consideración de  modificaciones por factores fehacientemente asumidos de minería, metalúrgicos, económicos, de , legales, ambientales, sociales y gubernamentales. Estas evaluaciones demuestran, a la fecha en que se publica el informe, que la extracción podría justificarse razonablemente.

    Con esos términos  y definiciones aceptadas, el grupo CMMI se dedicó a desarrollar las normas internacionales. La responsabilidad por las estimaciones de recursos y reservas debe ser atribuida a una persona responsable/competente,  término este introducido inicialmente en el código JORC.

    Con el establecimiento y adopción de los patrones internacionales de estimación y clasificación de recursos y reservas  muchos autores discuten la perspectiva inminente de transformar  esos patrones en normas de certificación del sistema ISO 9001. Según Vallee, 1999 de todos los sistemas en uso el código JORC es el más compatible con la certificación ISO.

    2 Métodos clásicos de estimación de reservas 

    Estos métodos sencillos, que se basan en criterios meramente geométricos, han soportado el paso del tiempo. Sin embargo están siendo paulatinamente sustituidos por métodos más sofisticados de estimación que se basan en la aplicación de los métodos de estimación espacial.

    2.1 Parámetros básicos de la estimación de recursos

    Los principales parámetros de estimación se deducen del la ecuación básica que permite calcular la cantidad de metal o componente útil  (P).

    P = S*m*d*C  donde,

    S- área de la proyección del cuerpo mineral en un plano determinado.

    m- potencia media del cuerpo mineral en la dirección perpendicular al plano de proyección

    d- masa volumétrica

    C- ley media del componente útil.

    De esta ecuación básica se pueden derivar otras fórmulas como:

    V=S*m - volumen total ocupado por el yacimiento mineral (m3)

    Q=V*d - Tonelaje o cantidad de reservas de mineral útil (t)

    La fórmula anterior muestra  que los   principales parámetros son:

    A) área (m2)

    B) espesor medio (m)

    C) contenido medio de los componentes útiles  (%, g/t, g/m3, kg/m3)

    D) Masa volumétrica o densidad aparente  de la materia prima mineral (t/m3)

    Antes de comenzar el cálculo es necesario determinar los valores de esos parámetros a partir de los datos  adquiridos en el transcurso de los trabajos de prospección y exploración. Esta tarea es muy importante pues de su correcta solución depende la precisión de los resultados de la estimación

    2.2 Determinación de los parámetros básicos2.2.1 Determinación del área del yacimiento

    Después del levantamiento geológico y la documentación de los trabajos de exploración se puede representar el yacimiento proyectándolo en un plano conveniente. Habitualmente los yacimientos con un buzamiento mayor de   45º  se proyectan en un plano vertical, los de buzamiento menor se proyectan en un plano horizontal. En ambos casos el área proyectada es menor que el área real. La relación entre el área real (S) y el área proyectada  (S´) en el plano vertical es:

    S´=S*sen (β)

    Para el plano horizontal:

    S´=S*cos (β)

    Donde β es el ángulo de buzamiento del yacimiento.

    Los yacimientos que tienen un rumbo y buzamiento constantes pueden ser proyectados  en un plano paralelo a los mismos. Si el depósito está constituido por  varios cuerpos el área de cada uno se proyecta y determina aparte.

    La base para la proyección de los cuerpos y el cálculo del área son los planos del departamento del servicio topográfico. En estos planos el geólogo debe delimitar el área del cuerpo estudiado, demarcar los tipos tecnológicos y las categorías según el grado de estudio etc.

    Para calcular el área es necesario inicialmente determinar los contornos de los cuerpos y del yacimiento mineral. Comúnmente se trazan dos contornos o límites: el interno y el externo. El contorno interno es una línea que une todos los pozos externos positivos. Ahora bien como el cuerpo mineral continua mas allá del contorno interno y no es posible conocer la posición exacta del contorno real se hace necesario determinar un límite (contorno externo) que sustituye el contorno real.

    Pueden existir 2 posibilidades:

    Detrás de los pozos extremos positivos se encuentra un pozo estéril

    Detrás de los pozos extremos positivos no existen pozos de exploración

    En el primer caso sabemos que el contorno real se encuentra en alguna parte entre el contorno interno  y los pozos negativos entonces  el contorno externo se determina por extrapolación limitada.  En el segundo caso no existen datos sobre la posición exacta del contorno real y este se determina por extrapolación no limitada. Los distintos métodos que existen para determinar el contorno externo  se representan en la figura 2.1.


    Figura 2.1  Principales criterios para trazar el contorno externo

    Una vez contorneado el yacimiento el área puede ser calculada empleando una de los siguientes métodos:

    Planímetro

    Digitalizador

    Descomposición en figuras geométricas sencillas.

    Papel milimetrado

    Regla de Simpson

    2.2.2 Determinación de la masa volumétrica

    La masa volumétrica de la mena (o mineral) no es más que la masa de un metro cúbico de esta en estado natural, es decir incluyendo poros, cavidades etc.

    La masa volumétrica (d) de la mena se define como:

    d= Q/(Vm+Vp)

    donde: Q es la masa de la muestra de mena

                Vm es el volumen de la mena

                Vp es el volumen de los poros

    La masa volumétrica se puede calcular en el laboratorio, en el campo y por métodos geofísicos principalmente en pozos y excavaciones mineras.  En el laboratorio se determina mediante el pesaje de las muestras y la determinación del volumen. La medición más exacta y auténtica se logra en el campo para esto se extrae una muestra  global (alrededor de 10 m3). El volumen del espacio (V) se mide y la mena extraída se pesa (Q).

    d= Q/V (t/m3)

    La masa volumétrica de la mena puede cambiar en función de la composición química y eventualmente de la textura, esto determina la necesidad  de determinar la masa volumétrica para cada tipo natural de mena presente en el yacimiento.  Habitualmente el peso volumétrico se determina para cada tipo como un promedio aritmético de 10 -20 muestras, en caso de yacimientos complejos de 20- 30 muestras

    La selección de una  insuficiente cantidad de muestras y la no representatividad de las mismas constituyen las fuentes principales de errores en la determinación de la masa volumétrica.

    Muchas minas en operaciones aplican una masa volumétrica constante (t/m3), la cual se obtiene  a partir del promedio aritmético de un número significativo de muestras. Si embargo esto puede conducir a errores graves en la determinación del tonelaje y la cantidad de metal, especialmente en aquellos casos donde la ley, la litología de la roca de caja, el grado de alteración o la profundidad del intemperismo y la mineralogía del componente útil varían constantemente.

    Para superar este problema se emplea la regresión lineal. Este método consiste en la determinación de la masa volumétrica de un número significativo de muestras mineralizadas pertenecientes a un mismo tipo natural de mena. Simultáneamente las muestras son analizadas para conocer el contenido del componente útil. Con esta información se construye el gráfico de dispersión, se realiza el análisis de correlación y se ajusta la ecuación de regresión que permite predecir el valor de la masa volumétrica de cada muestra en función de la ley del componente útil.  Sobre la base de estos resultados también se confeccionan los nomogramas que permiten obtener directamente el valor de la masa volumétrica a partir de la ley del componente útil de la muestra o intersección.

    2.2.3 Determinación del espesor medio de un yacimiento

    El espesor de un yacimiento se puede verificar por métodos directos o con ayuda de  modos indirectos (por ejemplo los métodos geofísicos en las perforaciones)

    El espesor o potencia se puede  medir  en los afloramientos naturales y artificiales, en las excavaciones mineras y en los pozos de perforación.

    El espesor de los yacimientos hay que medirlo con una precisión de cm. En casos de yacimientos con contactos claros con las rocas vecinas el espesor se mide directamente. Cuando los contornos  de la mineral no son claros el espesor se determina sobre la base de los resultados de los análisis químicos de  las muestras y la precisión depende de la longitud de las muestras tomadas. . 

    En la estimación de recursos se puede emplear la potencia real o normal, la componente vertical (potencia vertical) y la componente horizontal (potencia horizontal). Todo depende del plano en el cual se ha proyectado el cuerpo. La dependencia entre el espesor real y los espesores horizontales y verticales es la siguiente.

    mn = mh* sen (β)

    mn = mv * cos(β)

    mh = mv * ctg (β)

    Donde β es el ángulo de buzamiento de cuerpo, mn-potencia real mh - potencia horizontal, mv - potencia vertical.

    La componente vertical se emplea cuando el yacimiento se proyecta en planos horizontales principalmente para los cuerpos de buzamiento suave. Como se observa en la figura 2.2 trabajar con la componente vertical y el área proyectada en el plano horizontal es equivalente a emplear la potencia real y el área real de cuerpo mineral.

    Figura 2.2 Empleo de la potencia vertical cuando se proyecta el cuerpo en el plano horizontal. (Annels, 1991).

    La componente horizontal se emplea cuando los cuerpos se representan en proyecciones verticales longitudinales principalmente en cuerpos de yacencia abrupta que se explotan con minería subterránea.

    La potencia aparente del cuerpo mineral es de poca importancia y su valor depende del buzamiento y la inclinación del pozo. Si se conoce el ángulo de intersección (θ) entre el cuerpo mineral y el eje (traza del pozo) o puede medirse en el testigo entonces es posible calcular la potencia real empleando la siguiente fórmula.

    mn = ma* sen (θ)

    En caso de que el ángulo de intersección no pueda ser medido, el espesor real se calcula a partir de la inclinación del pozo (α) en el punto medio del intervalo mineralizado y el buzamiento del cuerpo (β) determinado a partir del perfil.

    mn = ma* sen (α+ β)

    En los casos en que el plano vertical que contiene el pozo no es perpendicular al rumbo del cuerpo mineral entonces es necesario introducir un factor de corrección (Rm) en la fórmula anterior

    mn = ma* sen (α+ β)*Rm

    Rm= sen (α+ δ)*cos(β)/cos(δ)

    Donde δ es el buzamiento aparente del cuerpo mineral en el plano vertical que contiene el pozo.

    También se puede emplear la fórmula

    mn = ma* sen (α+ β)*cos(γ)

    Siendo γ el ángulo entre el plano vertical que contiene el pozo y un plano vertical perpendicular al rumbo del cuerpo mineral.

    Para la estimación de reservas es necesario determinar el espesor medio del yacimiento o de una parte de este. Si los espesores particulares fueron medidos a distancias regulares, el espesor medio se calcula según la fórmula de  la media aritmética.

    m =  (m1+m2+m3+··· +mn)/n

    Si las mediciones de los espesores de un yacimiento fueron realizadas en distancias no regulares entonces el espesor medio se calcula según la ecuación de la media ponderada, empleando como factor de ponderación las distancias entre las distintas mediciones (l) o el área de influencia de cada una de ellas. 

    m =  (m1ll+m2l2+m3l3+ ·· +mnln)/(l1+l2+l3+····+ ln)

      2.2.4 Determinación del contenido medio del componente útil

    Durante la exploración de un yacimiento se muestrean de forma continua los distintos tipos de mena. Los análisis de las muestras permiten conocer el contenido o ley del componente útil en los lugares donde las muestras fueron tomadas.

    El contenido de un componente útil en la mena en la mayor parte de los casos se expresa en % de peso (Ej. Fe, Mn, Cu, Pb, Sb, Hg etc.), sin embargo los metales preciosos (Au, Ag, Pt etc.) se indican en gramos por tonelada (g/t).  Finalmente en los yacimientos de placeres la ley  de los metales se expresa en g/m3 o Kg/m3.

    Durante la exploración, las concentraciones de los componentes útiles se determinan a través de muestras individuales es por esto que  la estimación de los contenidos promedios para cada bloque se realiza en 2 etapas:

    • Cálculo del contenido promedio del componente útil en cada pozo o intersección de exploración a lo largo de toda la potencia del cuerpo mineral.
    • Extensión de los contenidos determinados en las intersecciones a los volúmenes adyacentes del subsuelo.

    Antes de comenzar la primera etapa es necesario determinar en cada pozo cual es el intervalo que puede ser explotado con cierto beneficio económico. Para este fin se emplean las condiciones industriales: potencia mínima industrial, contenido mínimo industrial, contenido en los bordes etc.

    Para obtener la ley media de cada pozo siempre se emplea el método de la media ponderada empleando como factor de peso las longitudes de cada muestra individual. En caso de que la longitud de las muestras sea constante entonces se utiliza la media aritmética.

     

    Ci- Ley de cada muestra individual

    li - Longitud de cada muestra

    C- Ley media de la intersección económica

    La extensión de los contenidos medios calculados para cada pozo o intersección  a los volúmenes adyacentes del subsuelo se hace frecuentemente por vía estadística. Con este fin en los métodos clásicos de cálculo se emplea tanto  la media aritmética como la media ponderada. En el caso de los métodos asistido por computadoras la extensión de los contenidos se realiza empleando métodos de interpolación espacial como el kriging y el inverso de la , los cuales serán abordados en próximos capítulos.

    2.3 Consideraciones generales sobre la estimación de recursos

    Matemáticamente la estimación de recursos  no es más que la integración numérica de una función contenido o ley (expresada en unidades de masa por unidad de volumen) dentro  del yacimiento de volumen V.

    La figura 2.3a muestra el procedimiento de cálculo de reservas a partir de la integración de la función ley C (v) en el dominio V.

    a)                                                                                        b)

    Figura 2.3 Yacimiento mineral hipotético cuya función contenido C (v) es conocida y por tanto la reserva de metal se calcula por su  integración numérica en el dominio del yacimiento .b) yacimiento subdividido en bloques de volúmenes conocidos  y las leyes determinadas  por un método de estimación.

    Conocer la función C(v) implica saber en cada punto del yacimiento cual es la ley del componente útil  o sea la función que la describe matemáticamente. En la práctica esto es imposible dada la densidad del muestreo por un lado y por otra parte la incapacidad de encontrar una función que se ajuste perfectamente a los datos.

    Como no se puede resolver directamente la ecuación los métodos existentes de estimación de reservas, tanto los tradicionales como los asistidos por computadoras, solucionan la ecuación empleando el caso discreto.

    Donde Ci - ley del componente en el bloque i

                Vi - volumen del bloque i

    V- Volumen total del yacimiento

       La ecuación anterior se resuelve fácilmente subdividiendo el yacimiento en n bloques de volúmenes conocidos, cuyas leyes pueden ser determinadas por los métodos de cálculo existentes como se ilustra en la figura 2.3b.

    La estimación de recursos es siempre hecha en bloques cuya geometría se define por la localización de los trabajos de exploración en el caso de los métodos clásicos, o en bloques de cálculo definidos por la malla o red en el caso de los métodos computacionales.  Es justamente aquí donde radica la diferencia fundamental entre los métodos clásicos y los asistidos por computadoras  ya que los primeros determinan las reservas en bloques de cálculos de grandes dimensiones y los segundos en bloques de pequeñas dimensiones compatibles con la densidad de información.

    2.4 Métodos clásicos de estimación de reservas

    Los métodos clásicos, desarrollados y empleados desde los mismos comienzos de la minería, se basan fundamentalmente  en los principios de interpretación de las variables entre dos puntos contiguos de muestreo, lo que determina la construcción de los bloques geométricos a los que se le asignan las leyes medias para la estimación de recursos.

    Los principios de interpretación de estos métodos según  Popoff (1966) son los siguientes:

    Principio de los cambios graduales (función lineal) entre dos puntos de muestreo

    Principio de los vecinos más cercanos o zonas de influencia

    Principio de generalización (analogía) o inferencia geológica.

    El principio de los cambios graduales presupone que los valores de una variable (espesor, ley, etc.) varían gradual y continuamente a lo largo de la línea recta que une 2 puntos de muestreo contiguos.

    El principio de vecinos más cercanos admite que el valor de la variable de interés en un punto no muestreado es igual al valor de la variable en el punto más próximo.

    El último de los principios permite la extrapolación de los valores conocidos en los puntos de muestreo a puntos o zonas alejadas sobre la base del conocimiento geológico o por analogía con yacimientos similares.

    Todos estos principios de interpretación son utilizados para la subdivisión del yacimiento mineral en bloques o sectores, los cuales son evaluados individualmente y posteriormente integrados para determinar los recursos totales del yacimiento.

    Los métodos clásicos o tradicionales  han soportado el paso del tiempo pero están siendo superados progresivamente por los métodos geoestadísticos. Estos métodos son aun aplicables en muchas situaciones, donde incluso pueden arrojar resultados superiores.  Siempre es necesario realizar una valoración crítica del empleo de la geoestadistica antes de desechar completamente las técnicas tradicionales. El uso de las técnicas kriging está supeditado a la existencia  de una red de exploración que  permita la generación de los modelos matemáticos que describen la continuidad espacial de la mineralización del yacimiento que se evalúa. Cuando no existe suficiente información de exploración o la variabilidad es extrema se deben emplear los métodos geométricos o tradicionales.

    Según Lepin y Ariosa, 1986 los métodos clásicos de estimación más conocidos son:

    Método del promedio aritmético o bloques análogos

    Método de los bloques geológicos

    Método de los bloques de explotación

    Método de los polígonos

    Método de las isolíneas.

    Método de los perfiles

    2.4.1 Método de la media aritmética.

    Es el método de cálculo más simple. En este caso la forma compleja del cuerpo mineral se sustituye por una placa o lámina de volumen equivalente cuyo espesor corresponde con la potencia media  del cuerpo.

      Los contornos se trazan en los planos o proyecciones verticales. El área delimitada se determina planimétricamente o por otro método de cálculo. El espesor medio se estima por la media aritmética simple o ponderada. El contenido promedio y la masa volumétrica se determina de la misma forma. La parte del cuerpo comprendida entre el contorno interno y externo generalmente se calcula de manera independiente porque los recursos de esta zona se reportan en una categoría inferior. A pesar de su sencillez se puede emplear exitosamente en yacimientos de constitución geológica simple Ej.  Yacimientos de materiales de la construcción.

    Secuencia General de trabajo.

    -Delimitación del área del cuerpo mineral, trazando el contorno interno y externo.

    -Medición del área

    -Cálculo de la potencia media del mineral útil por promedio aritmético o media ponderada.

    -Cálculo de la masa volumétrica  por promedio aritmético o media ponderada.

    -Cálculo de la ley media del mineral útil por promedio aritmético o media ponderada.

    -Cálculo del volumen, tonelaje (reservas de mena) y reservas del componente útil. 

    Ventaja

    Su principal mérito radica en su simplicidad, brindando una rápida idea sobre los recursos de un yacimiento. Se utiliza en los estadios iniciales de los trabajos geológicos de exploración para realizar evaluaciones preliminares.

    Desventaja 

    Imposibilidad del cálculo selectivo de acuerdo con las diferentes clases industriales de mena, condiciones de yacencia, grado de estudio y condiciones de explotación.

    2.4.2 Método de los bloques geológicos

    El cuerpo mineral se divide en bloques homogéneos de acuerdo  a consideraciones esencialmente geológicas. De esta forma el cuerpo mineral de morfología compleja se sustituye por un sistema de prismas poliédricos de altura que corresponde con la potencia media dentro de cada bloque (fig2.4). El contorneo se realiza en cualquier proyección  del cuerpo, además es necesario trazar los límites de los bloques geológicos independientes.

     Figura 2.4 Estimación de reservas por el método de bloques geológicos

     Generalmente se forman bloques tomando en consideración la variación de los siguientes parámetros:

    Según las diferentes vetas, capas o cuerpos presentes en el yacimiento

    Según la existencia de intercalaciones estériles

    Según la potencia del cuerpo mineral

    Según la profundidad o cota de nivel

    Según los tipos tecnológicos, calidad o contenido de componente útil (mena rica y mena pobre)

    Según las condiciones hidrogeológica (por encima y por debajo del nivel freático)

    Según el coeficiente de destape o relación estéril mineral.

    Según la situación tectónica

    Además de estos criterios geológicos se consideran otros aspectos como:

    Diferencias en el grado de conocimiento

    Viabilidad económica.

    Es importante señalar que si se toman en consideración muchos parámetros el resultado será la formación de muchos bloques. En caso extremo cada pozo representa un bloque separado lo que reduce el método de bloques geológico al método de los polígonos. 

    Este método se reduce al anteriormente descrito si se delimita un solo bloque que abarque todo el yacimiento. La metodología de cálculo dentro de cada bloque es exactamente igual al método de media aritmética. Las reservas totales del yacimiento se obtienen de la sumatoria de las reservas de los bloques individuales.

    El método, que se caracteriza por su sencillez en el contorneo y el cálculo, puede ser aplicado prácticamente para cuerpos minerales de cualquier morfología, explorados según una red regular o irregular y cualquiera que sean las condiciones de yacencia. 

    El problema fundamental de esta técnica radica en que durante el desarrollo y explotación  del yacimiento, es necesario reajustar todos los bloques para que se acomoden al método de explotación.

    2.4.3 Método de los bloques de explotación

    Este método es también una variante del método de la media aritmética y se desarrolló  esencialmente para los yacimientos filoneanos, los cuales son divididos en bloques por los laboreos de preparación para la explotación.

     Según este método, específico de la minería subterránea, las reservas del yacimiento se calculan por la acumulación de las reservas parciales obtenidas en bloques de explotación individuales. Los bloques de cálculo son porciones del depósito delimitadas por 2, 3 y 4  lados  por excavaciones mineras de exploración y desarrollo (contrapozos, corta vetas, galerías, trincheras etc.).

    La forma real del cuerpo dentro del bloque se reemplaza con un paralelepipedo cuya altura  es igual a la potencia media del cuerpo mineral en el bloque.

    El cálculo se realiza  en el plano o en la proyección vertical longitudinal, sobre los cuales se proyectan  las excavaciones mineras con los resultados de los análisis y los espesores particulares. 

    Para el cálculo de la potencia y el contenido medio dentro de cada bloque, primeramente se determinan los valores medios en cada excavación  y posteriormente se  calcula el valor medio del bloque a través de la media aritmética si la longitud de la excavaciones son aproximadamente iguales, en caso contrario se pondera por la longitud o área de influencia de cada laboreo.

    La ventaja del método radica en la sencillez del contorneo y la posibilidad de usar los resultados directamente en la proyección y planificación de la extracción  del mineral útil.  Su debilidad principal radica en la división formal del cuerpo en bloques heterogéneos por la potencia y calidad.

    2.4.4 Método de los polígonos o regiones próximas

    El método se emplea para el cálculo de reservas de capas horizontales o subhorizontales explorados por pozos irregularmente distribuidos.

    Si se calculan las reservas de un depósito según este método la morfología compleja del yacimiento se reemplaza por un sistema de prismas poliédricos, cuyas bases lo constituyen  los polígonos o zonas de influencia y su altura es  igual  al espesor del cuerpo revelado por el pozo que se ubica en el centro del polígono.

    El método se reduce a la separación de las zonas de influencia de cada pozo o laboreo que intercepta el cuerpo mineral. Para la delimitación de las zonas de influencia es necesario realizar las siguientes construcciones:

    Se procede a unir mediante líneas rectas los pozos de perforación contiguos  posteriormente se determina la mediatriz de cada recta y  la intersección de las mismas definen la zona de influencia. Este procedimiento, que se conoce como división de Dirichlet o poligonos de Voronoi (Thiesen), genera un  sistema único de prismas poliédricos en el cual los polígonos contiguos comparten una arista común (Fig. 2.5). El empleo de este procedimiento permite obtener siempre el mismo mosaico de polígonos.

     Figura 2.5 Estimación de reservas por el método de los polígonos.  a) Parte de un plano de cálculo indicando la forma en que se construyen los polígonos a partir de un pozo 1)Pozo positivo 2)Pozo negativo 3)limite de los polígonos de cálculo 4)Contorno interno 5)contorno externo (Kreiter, 1968)

    El volumen del prisma se determina como el producto del área del polígono por su altura. Otros parámetros del cálculo se obtienen para cada prisma directamente del pozo central.  El volumen total  del yacimiento es la suma de los volúmenes de cada  prismas.

    Este método puede ser utilizado para estimaciones preliminares  de recursos, pues los cálculos son tan simples  que pueden ser hechos rápidamente incluso en el campo, otra ventaja importante del método es su reproducibilidad pues si se sigue el mismo procedimiento dos especialistas pueden llegar al mismo resultado.

    El método de los polígonos posee muchas desventajas entre las que podemos mencionar:

    Cuando la red de exploración es densificada, hay que rehacer nuevamente la construcción de los polígonos.

    El sistema de los prismas no refleja correctamente  la forma natural del yacimiento.

    Los  resultados no son satisfactorios principalmente cuando los valores observados son valores extremos lo cual  provoca que los errores de extensión del pozo al polígono sean muy groseros.  Este error de estimación disminuye en la medida que aumenta la densidad de la red de exploración

    Independientemente de las desventajas obvias que posee el método, las cuales están muy vinculadas con su sencillez y simplicidad, esta técnica de estimación ha soportado el paso del tiempo y aparece implementado en la mayoría de los softwares modernos de modelación geólogo minera.

    2.4.5 Método de las isolíneas

    La estimación de recursos por el método  de las isolíneas presupone que los valores  de la variable de interés varían gradual y continuamente entre las intersecciones de exploración 

       Durante la estimación de las reservas de un yacimiento por este método, la forma de este se sustituye por un cuerpo de volumen  igual al cuerpo natural, pero delimitado en su base por un plano recto (fig2.6).  En este método se comienza con el trazado de los mapas de isolíneas de las variables de interés (espesor, ley y masa volumétrica o reservas lineales). Las isolíneas entre los laboreos de exploración se construyen empleando el método de triangulación con interpolación lineal. 

     

    Figura 2.6 Esquema de estimación de recursos empleando el método de las isolíneas. Plano de isopacas  con malla superpuesta y algunos pozos de exploración  a)Forma transformada del cuerpo mineral en un perfil geológico b)Forma real del cuerpo; ΔS área elemental de la celda con altura 2.9 m y volumen elemental V=100*2.9=290 m3,Si-área dentro de la isolínea, h - equidistancia ente isolíneas, hx -altura o profundidad de las cúpulas





    El volumen del cuerpo representado por las isolíneas de espesor (isopacas) se puede calcular por el método de la red milimétrica. 

    En esta variante es necesario trazar los mapas de isovalores del espesor, ley de los componentes útiles y masa volumétrica. Posteriormente se superpone una malla o  matriz de bloques, cuyo tamaño está en correspondencia con la escala de los trabajos y la densidad de la red de exploración. La matriz divide toda el área del yacimiento en pequeños bloques cuadrados. Posteriormente a partir del mapa de isopacas se interpola el valor de la potencia en el centro de cada bloque lo cual permite determinar el volumen de cada celda elemental. Por la adición de estos volúmenes elementales (ΔV) se determina el volumen total del yacimiento. Si se considera necesario para mejorar  la precisión en los bloques limítrofes, se puede estimar la proporción del bloque que se localiza dentro de  los contornos del yacimiento.

    ΔV=ΔS*mi

    Donde ΔV -volumen elemental de la celda o bloque


    mi - espesor del yacimiento en el centro del área parcial, se determina por interpolación

    Δs -área de la celda (valor constante)

    El volumen total del cuerpo  se calcula:

    De esta expresión queda claro  que el volumen de un yacimiento se determina como el producto del área elemental del bloque con la suma de los espesores parciales que se determinan por interpolación lineal a partir de las isolíneas.

    El cálculo de las reservas de menas del yacimiento es exactamente igual si la masa  volumétrica es variable se construye el mapa de isovalores de este parámetro y  a partir de aquí se interpola el valor "d" en cada celda. 

    Si d es constante entonces la formula queda de la siguiente forma

    De forma análoga se estima la cantidad de metal

    Esta variante del método de isolíneas es extremadamente importante pues contienen en esencia la idea fundamental sobre la que descansan los métodos modernos asistidos por computadoras. En ellos también se subdivide o discretiza el yacimiento en pequeños bloques y posteriormente se estima en cada celda el valor de la variable de interés, con la única diferencia que en los métodos actuales la interpolación se basa en métodos de estimación espacial (geoestadísticos y geomatemáticos). La comprensión de esta variante es fundamental para poder entender los métodos que serán discutidos en los próximos capítulos.  

    En resumen se puede decir que una de las ventajas del método de isolíneas es su claridad pues las curvas de isovalores brindan una idea clara sobre la constitución del yacimiento y el comportamiento de los espesores y contenidos del componente útil. Para trazar las isopacas no es necesario emplear espesores reales sino que se puede usar la componente vertical u horizontal de la potencia, todo depende del plano en el que se proyecte el cuerpo. El método permite realizar estimaciones locales (bloque a bloque) lo cual facilita la utilización de los resultados para fines de planificación minera.

    Según la literatura la principal desventaja del método radica en la complicación de las construcciones, la cual ha sido superada con la introducción de los ordenadores y el desarrollo de los métodos geoestadísticos. El principal problema del método está en la necesidad de contar con un grado de exploración alto pues la construcción de las isolíneas sobre la base de una red de exploración poco densa no es confiable.

    2.4.6 Métodos de los perfiles

    El método de estimación mediante cortes o perfiles se puede usar si el yacimiento fue explorado en una red regular que permite la construcción de cortes geológicos. Los cortes geológicos de un yacimiento, según su orientación, pueden ser horizontales, verticales o perfiles no paralelos.   La ente los cortes particulares no es constante y corresponde a la entre las líneas de exploración en el caso de perfiles verticales o la altura entre niveles de una mina en el caso de cortes horizontales.

    Figura 2.7 Cálculo de recursos usando el método de perfiles paralelos. Para simplificar el esquema solo se trazó el contorno externo.  1-Pozos positivos y negativos  2-número de los perfiles geológicos 3-número de los bloques de cálculo 4-intercalación de roca estéril, S - área  del cuerpo en los perfiles L- entre los perfiles

    La sucesión de cálculo en este caso es la siguiente.

    ·         Contornear el cuerpo mineral (contorno interno y externo) en el plano.

    ·         Se dibujan los perfiles a una escala dada, incluyendo en los mismos los resultados del contorneo (Fig. 2.7).

    ·         Se calculan las áreas en los perfiles por su semejanza con figuras geométricas sencillas

    ·         Se calculan los volúmenes entre perfiles  utilizando las siguientes fórmulas:

    Cuando la diferencia entre las áreas calculadas no supera el 40 % se utiliza la fórmula del trapezoide

    Vi-ii = (S1+S2)/2  x  L

    Si y Sii -áreas de los perfiles contiguos

    L - entre perfiles

    Si la diferencia es mayor del 40 % se utiliza la fórmula del cono truncado

    Vi-ii = x L

    El cálculo del volumen en los flancos se realiza por las fórmulas de la cuña o el cono en dependencia de la forma aproximada del bloque en los extremos. 

    V cuña  =1/ 2 S*L

    Vcono=1/3Sx L

    ·         Estimación de los valores promedios de los parámetros para cada bloque (ley del componente útil)

    Estimación de la ley media de cada perfil limítrofe a partir de la media aritmética o media ponderada por la potencia.

    Ci = (C1*m1+C2*m2+ +Cnmn)/ (m1+ m2+ +mn)  (perfil I)

    Cii= (C1*m1+C2*m2+ +Cnmn)/ (m1+ m2+ +mn) (perfil II)

     

    Posteriormente se calcula el valor medio del bloque ponderando por el área de cada perfil. 

    Ci-ii = (Ci Si +CiiSii)/(Si+Sii)

    Se calcula el valor promedio de la masa volumétrica para cada bloque usando el mismo procedimiento

    • Cálculo de las reservas de menas y del componente útil en cada bloque

    Qi-ii = Vi-ii*di-ii

    Pi-ii = Qi-ii*Ci-ii

    ·         Cálculo de las reservas totales del yacimiento  por la sumatoria de las reservas de los bloques individuales

    Qt = Qi-ii + Q ii-iii +  ······  + Qn-1,n

    Pt = Pi-ii + P ii-iii +  ·········· + Pn-1,n

    El método de las secciones en todas sus variantes permite tener en cuenta de manera más completa las particularidades  de la constitución geológica del yacimiento, la morfología  y las condiciones de yacencia de los cuerpos minerales (Lepin y Ariosa, 1986). El método posee desventajas importantes. En primer lugar se basa en la interpolación rectilínea de los datos de exploración entre las secciones contiguas  y por eso es inaplicable si la estructura tectónica del objeto es compleja. Además si distancias entre los perfiles son grandes se puede incurrir en errores groseros en la determinación de los volúmenes. Por este motivo, no se recomienda este  método    durante los estadios iniciales del estudio geológico del yacimiento, especialmente si se supone una constitución geológica compleja. En segundo lugar, al calcular las reservas de mineral útil mediante este método no se utilizan  los datos de exploración obtenidos en los puntos  dentro del bloque, sino solo los ubicados en las secciones principales de  exploración.

    3 Análisis exploratorio de datos 3.1 Compositación o regularización

    Generalmente los intervalos de muestreo en los pozos de exploración no coinciden con los intervalos de trabajo en la fase de estimación de recursos. Los intervalos de muestreo son siempre menores pues se busca revelar la variabilidad espacial de las variables que se estudian. El cálculo de los compósitos no es más que un procedimiento mediante el cual las muestras de los análisis se combinan en intervalos regulares (igual longitud), que no coinciden con el tamaño inicial de las muestras. La ley del nuevo intervalo se calcula usando la media ponderada por la longitud de los testigos que contribuyen a cada compósito y la masa volumétrica en caso de ser variable.  El objetivo de la regularización según Barnes, 1980 es obtener muestras representativas de una unidad litológica o de mineralización  particular las cuales pueden ser usadas, a través de una función de extensión, para  estimar la ley  de un volumen mucho mayor de la misma unidad.

    Entre las principales razones y beneficios de la regularización tenemos:

    El análisis geoestadístico exige muestras de igual longitud (similar soporte).

    La compositación reduce la cantidad de datos  y por consiguiente el tiempo de cálculo o procesamiento.

    Se producen datos homogéneos y de más fácil interpretación.

    Se reduce las variaciones erráticas (alto efecto pepita) producto de muestras con valores extremadamente altos.

    El proceso incorpora la dilución  como la provocada por la explotación de banco con altura constante en la minería a cielo abierto.

    Existen muchos tipos de yacimientos minerales cada uno de los cuales  requiere de un tratamiento específico de los datos de las muestras de manera que se logren los mejores intervalos de compositación para la evaluación del los mismos (Barnes, 1980). Básicamente existen 3 tipos principales de compósitos y se usan en dependencia de la naturaleza de la mineralización y el método de explotación:

    Compósito de Banco (bench composite): Las muestras se regularizan a intervalos que coinciden con la altura de los bancos o una fracción de esta. Se emplea para modelar los recursos de yacimientos grandes, diseminados de baja ley que se explotan con minería a cielo abierto (Yacimientos de Cobre porfídico). 

    Compósito de Pozo (down hole composite):  Las muestras se combinan a intervalos regulares comenzando desde la boca del pozo.

    Compósito Geológico (geological composite): Las muestras se combinan a intervalos regulares pero respetando los contactos geológicos entre las distintas unidades. Este método se emplea para prevenir la dilución del compósito en el contacto estéril mineral y donde se logra mayor control sobre el proceso de regularización.

    El empleo de compósito de banco o de pozo en estos casos provoca una distorsión de la distribución de la ley ya que se puede adicionar mineral de baja ley a la zona mineral o mineral de alta ley al estéril.

    Para escoger la longitud de regularización se emplean las siguientes reglas empíricas:

    ·         El tamaño del compósito se selecciona  entre la longitud media de las muestras y el tamaño del banco

    ·         Para el caso de los cuerpos en los que su análisis se hace de forma bidimensional, es necesario computar por pozos una media ponderada de los valores de todas las variables de interés que abarque todas las muestras positivas del intervalo mineralizado.

    ·          No se debe regularizar muestras grandes en intervalos  más pequeños pues se introduce una falsa idea de continuidad espacial (fig. 3.1).

    Figura 3.1 Impacto provocado al regularizar muestras grandes en intervalos pequeños.

     3.2 Análisis exploratorio de datos.

    Antes de proceder con la estimación de reservas propiamente dicha se debe, siempre que sea posible, realizar un análisis estadístico de los datos disponibles o los generados a partir del cálculo de los compósitos con el objetivo de caracterizar el comportamiento estadístico de las distintas variables en el depósito y en las unidades geológicas (dominios)  que lo integran.

    La organización de los datos cuantitativos y su análisis pueden consumir el 50 % de tiempo necesario para realizar la estimación de reservas. El análisis exploratorio de datos está dirigido a resolver las siguientes cuestiones:

    ·         Identificar y eliminar los posibles errores

    ·         Caracterización estadísticas de las variables de interés

    ·         Documentar y entender las relaciones entre las variables

    ·         Revelar y caracterizar  la continuidad espacial de las variables (potencia y contenido del componente útil)

    ·         Identificar y definir los dominios geológicos que requieren un tratamiento independiente durante la estimación de recursos.

    ·         Identificar y caracterizar las muestras con valores extremos (outliers)

    El cálculo de la estadística básica y el estudio de la distribución de frecuencias de los  parámetros constituyen las principales herramientas que posibilitan el análisis estadístico de los datos. Los resultados de esta etapa complementan el modelo geológico y se emplean en la modelación de recursos.

    La estadística básica se calcula para las muestras originales y compositadas en cada dominio geológico, los cuales incluyen distintos tipos litológicos, tipos de alteración hidrotermal,  dominios estructurales y zonas o sectores en las que se reconoce (o se sospecha) que la distribución estadística de la variable es diferente.

    3.2.1 Estadística descriptiva

    El análisis estadístico comienza con el estudio de la distribución de frecuencia  la cual indica como se distribuyen las muestras en intervalos regulares de los posibles valores.  A partir de aquí se construyen los histogramas y gráficos de frecuencia cumulativa. El estudio del histograma  permite extraer conclusiones sobre el tipo de distribución que siguen los datos, la presencia de valores huracanados y la posible existencia de poblaciones complejas (bimodalidad).

    Al histograma calculado se le ajusta un modelo teórico de distribución. En la práctica de la estimación de recursos se emplean mayoritariamente el modelo de distribución normal o gaussiana y el modelo lognormal de 2 y tres parámetros.

    Si el histograma del parámetro estudiado es simétrico en forma de campana y la distribución de frecuencia cumulativa se plotea como una línea recta en el papel probabilístico normal entonces los datos se ajustan al modelo de distribución gaussiano. Este tipo de modelo se observa poco en los yacimientos minerales excepto en aquellos de origen sedimentario.

     

    La función de densidad de probabilidades  que describe matemáticamente esta distribución  esta dada por la siguiente ecuación

      Donde

    f(x)-  función de densidad de probabilidad

    m  - media 

    σ- desviación estándar

    El gráfico de la función  de densidad de probabilidad, conocida como curva normal, se muestra en la figura 3.2.

    Figura 3.2 -Gráfico de la distribución normal

    Una propiedad muy útil de la distribución normal es que el área bajo la curva en un intervalo específico puede ser fácilmente calculada. Por ejemplo, el 68 % de los valores de la variable caen en el intervalo μ±σ, el 95% en el intervalo μ±2σ y el 99% en el intervalo μ±3σ.

    Si el histograma del parámetro estudiado es asimétrico, formando una cola hacia la derecha y la frecuencia cumulativa se grafica como una línea recta en el papel probabilístico lognormal entonces los datos se ajustan al modelo de distribución lognormal. Cuando los datos poseen estás características la variable original se transforma calculando el logaritmo natural de sus valores. El histograma de la variable transformada se ajusta al modelo gaussiano.

    Este tipo de distribución se encuentra en muchos problemas de evaluación de reservas, donde existe una gran cantidad de valores bajos y unos pocos valores altos que definen el yacimiento.

    La función de densidad de probabilidades que describe matemáticamente la  distribución lognormal  esta dada por la siguiente ecuación.

    Donde a - media de los logaritmos de x

              b - desviación estándar de los logaritmos de x

    Los gráficos de probabilidad o frecuencia acumulada (normal o lognormal) son también de mucha utilidad para este análisis. En primer lugar permite corroborar el modelo de distribución al que se ajusta la variable y también calcular los principales parámetros estadísticos que describen la distribución. En muchos casos los gráficos obtenidos al representar la frecuencia acumulada no constituyen líneas rectas sino múltiples segmentos y curvas con sus respectivos puntos de inflexión. Estos puntos de cambios de pendiente se emplean para separar poblaciones complejas, siempre y cuando las subpoblaciones posean coherencia espacial y una lógica explicación  geológica.. 

    Una desviación típica de los gráficos de probabilidad es una curva hacia abajo en el extremo inferior. Esta curva representa un exceso de muestras con leyes bajas comparado con lo que se debe esperar si la distribución fuese lognormal. En los depósitos de cobre porfídico, por ejemplo, esto se explica por intrusiones tardías  débilmente mineralizadas o diques estériles posteriores a la mineralización. Los datos deben ser examinados para determinar la fuente de las muestras de bajo contenido y valorar si esta población ha sido o puede ser cartografiada  y estimada de forma independiente. Este mismo comportamiento del gráfico de probabilidad puede originarse al representar una distribución normal en un papel probabilístico lognormal.

    Otra desviación muy común de la línea recta en el gráfico de probabilidades es una curva de mayor pendiente en el extremo superior. Esto representa un exceso de muestras con alto contenido lo cual puede ser causado por la superposición de 2 poblaciones. Un ejemplo de esto puede ser vetas de alta ley que cortan mineralización diseminada de baja ley. Otras causas de muestras con valores muy altos pueden ser los pequeños sectores dentro del cuerpo altamente favorables para hospedar mineralización producto de su alta permeabilidad, propiedades químicas favorables, enriquecimiento secundario o removilización metamórfica. Como la mineralización de alta ley generalmente posee menor continuidad que la de baja ley  el origen de estas zonas debe ser identificado y su estimación realizada de forma independiente.

    Una vez obtenidos los histogramas y gráficos de probabilidades se calculan algunos parámetros de la estadística descriptiva que caracterizan numéricamente la distribución estadística. 

    Los principales estadígrafos que deben ser calculados para las distintas variables son:

    Números de datos (muestras o compósitos)

    Medidas de tendencia central (media, moda, mediana)

    Medidas de dispersión (varianza, desviación estándar, rango y coeficiente de variación)

    Medidas de forma (asimetría y kurtosis)

    3.2.1.1 Medidas de tendencia central

    La media aritmética es el promedio de los n valores medidos. Posee el inconveniente de que es muy sensible a la presencia de valores extremos en los datos. La media o esperanza matemática se calcula por la fórmula siguiente


    La moda es valor más probable o frecuente de la variable estudiada

     La mediana es el punto central de los valores observados si se organizan en orden ascendente. La mitad de los valores caen por debajo de la mediana y la otra mitad por encima.

    Cuando la variable se ajusta al modelo normal la moda, la mediana y la media coinciden, si la distribución es lognormal, la moda es mayor que la mediana y esta  a su vez es mayor que la media.

    Cuando la distribución es asimétrica los valores medios de la ley u otro parámetro estimados a partir de una simple media aritmética están sesgados y no se confirma posteriormente durante la producción. Si los datos se distribuyen lognormalmente, la población se puede definir como una población lognormal de dos parámetros (media y la varianza de la población logarítmica), entonces el valor  medio de este tipo de distribución se obtiene por la fórmula siguiente:

    m = e[a+ var/2]

    Donde:

    m = Valor medio estimado de la variable

    a = Media de la distribución de los logaritmos de la variable

    var = varianza de la distribución de los logaritmos de variable.

    Los valores a y var pueden ser calculados por las fórmulas anteriormente descritas o estimados a partir del gráfico de probabilidad (fig. 3.5). La media de los logaritmos coincide con el percentil 50 mientras que la desviación estándar es SD =0.5(X16-X84).

    Puede ocurrir que al representar los datos logarítmicos en un diagrama de probabilidad, estos no se ajusten exactamente a una recta, mostrando una cierta curvatura en el comportamiento, lo que es indicativo de la presencia de una población lognormal de tres parámetros (Fig. 3.5). Este tercer parámetro, denominado constante aditiva (a), se puede calcular como:

    a = [ x50 - ( x75 . x25 ) ] / (x25 + x75 - 2.x50)

    donde  x25, x50 y x75 los valores de los percentiles 25, 50 y 75.

    Este valor a se añade a la población original de datos. A continuación, se realiza la transformación logarítmica obteniéndose una nueva población ln(xi + a), la cual si  se ajusta a una  distribución lognormal. El valor de a estimado por este método es tentativo y puede ser modificado de modo que se logre el mejor ajuste posible.

    Figura 3.5 Gráficos de probabilidad de una distribución lognormal a)población lognormal de 2 parámetros b) población lognormal de 3 parámetros.

    Para calcular, en este caso, la media del parámetro se aplica el procedimiento descrito para la población de dos parámetros, sustrayéndose el valor de la constante aditiva al resultado final.

    3.2.1.2 Medidas de dispersión

    Varianza: La varianza de los datos,se calcula de acuerdo a:

    La varianza es la desviación cuadrática promedio de los datos respecto a su valor central, esta medida es sensitiva a valores extremos.

    Desviación estándar: La desviación estándar se calcula como la raíz cuadrada de la varianza. Esta medida con frecuencia se prefiere en lugar de la varianza debido a que sus unidades son las mismas que la variable que se estudia.

    Rango: Es la diferencia entre el máximo y el mínimo.

    3.2.1.3 Medidas de forma

    Coeficiente de simetría: El descriptor más utilizado para medir la forma de la distribución es el coeficiente de asimetría. Debido a la manera en que se calcula este coeficiente los valores del mismo pueden estar  afectados por la presencia de valores extremos en los datos. Un sólo valor extremo puede influenciar notablemente este coeficiente pues la diferencia entre cada valor y la media es elevado al cubo. La distribución normal estándar es perfectamente simétrica,  Sk = 0. Esta medida se calcula como:

    Sk < 0 Distribución asimétrica negativa

    Sk = 0 Distribución simétrica

    Sk > 0 Distribución asimétrica positiva

    Coeficiente de variación: Este coeficiente se usa como una alternativa al coeficiente de asimetría. Se emplea, principalmente, para distribuciones en las cuales todos sus valores son positivos y cuya asimetría es también positiva.  Aunque puede ser utilizado para distribuciones con asimetría negativa en ellas  su importancia como índice de forma decrece considerablemente. Este coeficiente es una medida de dispersión  adimensional, y no está definido para el caso en que la media es cero. Se calcula como la desviación estándar dividida por la media de los datos.

    Un coeficiente de variación mayor que uno indica la presencia de algunos valores erráticos en la muestra  los cuales pueden tener una gran influencia en la estimación.

    Según Finney (1941) una manera práctica de saber si los datos se ajustan a una distribución normal o lognormal es calcular el coeficiente de variación y verificar si este es mayor o menor que 1.2; si es mayor que este valor (gran dispersión de los valores) entonces la distribución es lognormal, en caso contrario el modelo es normal. 

    Noble, 2000 propone las siguientes reglas para interpretar el coeficiente de variación.

    Coeficiente de variación

    Interpretación

    0-25 %

    Distribución simple y simétrica  de la ley. La estimación de recursos es fácil y cualquier método brinda buenos resultados.

    25-100%

    Distribución asimétrica. Dificultad moderada para la estimación de recursos. La  distribución es típicamente lognormal

    100 - 200 %

    Distribución marcadamente asimétrica con un amplio rango de valores. Dificultad para la estimación local de los recursos. 

    > 200 %

    Distribución asimétrica y muy errática o presencia de poblaciones complejas. La estimación local de la ley es difícil o imposible

    Kurtosis: Es una medida de cuan "afilado" es el pico de la distribución de los datos.  Tradicionalmente el valor de este coeficiente se compara con cero, el cual es el valor para el caso de una distribución normal.  Un valor mayor que cero indica una distribución más picuda que la normal y un valor menor que cero refleja una distribución más achatada que la normal.  Sin un número de muestras grandes, el uso de este coeficiente es de dudoso valor.

    Si el número de muestras es mayor que 25 entonces es posible hacer comparaciones de la media y el coeficiente de variación de las variables de interés entre los distintos dominios geológicos presentes en el yacimiento.

    Noble, 2000 propone las siguientes reglas generales para evaluar las diferencias entre las leyes medias:

    Diferencia de la ley media entre dominios geológicos (%)

    Interpretación

    0-25 %

    La diferencia es mínima y no es necesario diferenciar las poblaciones en el modelo de recursos

    25-100%

    Las poblaciones requieren ser diferenciadas en el modelo de recursos si están separadas por discontinuidades(fallas etc.) o el variograma en ambos dominios es diferente

    Mayor de 100 %

    Las poblaciones  tienen que ser necesariamente separadas. Diferencias mayores de 100 % pueden indicar presencia de poblaciones estériles o de alta ley

    4 Métodos de estimación de reservas asistido por computadoras

    Los métodos de estimación de recursos asistido por computadoras se han desarrollado ampliamente en los últimos años debido al desarrollo vertiginoso que han tenido los ordenadores y los softwares de aplicación.  Los primeros intentos estuvieron  dirigidos a informatizar los métodos clásicos o geométricos (método de los polígonos y de los perfiles) posteriormente con el desarrollo de la geoestadística aparecieron métodos más potentes y con una filosofía totalmente diferente de trabajo. 

    Los métodos asistido por computadoras permiten realizar estimaciones en bloques más pequeños (estimación bloque a bloque, que idealmente deben ser del tamaño de la unidad de selección minera) definidos en función del objetivo de la estimación y la densidad de la  red de exploración. En esto radica precisamente la diferencia con los métodos clásicos o geométricos los cuales, como se conoce, definen el tamaño del bloque sobre la base de conceptos de área o volumen de influencia que comúnmente son determinados empíricamente, o también de acuerdo con la disposición de las intersecciones de exploración. Estos bloques así definidos son de grandes dimensiones y se evalúan generalizando la variable estudiada a partir de la media aritmética o la media ponderada según sea el caso.

    Los métodos computarizados para la estimación de recursos se basan en procedimientos matemáticos de interpolación local  y solamente emplean los datos de los pozos vecinos al bloque para realizar la estimación de la variable estudiada. Un esquema simplificado de la estimación de recursos asistida por computadora se muestra en la figura 4.1. El yacimiento  o la zona mineral definido por la geología se discretiza en una matriz de bloques bidimensional o tridimensional según el caso y cada bloque se estima utilizando los datos localizados dentro del área o volumen de búsqueda.

    Los métodos de ventanas móviles (inverso de la y kriging) son las técnicas más empleadas en la estimación de recursos  asistida  por computadora.

    El procedimiento general de los métodos computarizados es el siguiente.

    1.       Confección de la base de datos con toda la información relevante de la exploración del yacimiento

    2.       Análisis exploratorio de datos y variografía

    3.       Creación del modelo geológico

    4.       Modelo de recurso - División del yacimiento mineral en una matriz de bloques regulares -modelo de bloque o capa.

    5.       Estimación en cada bloque de las variables de  interés (contenido, masa volumétrica etc.) empleando una técnica de interpolación espacial  (funciones de extensión). El valor estimado de la ley en cada celda se calcula por la siguiente fórmula:

    Z*(x) = Ã¥i=1,n Wi Z (xi)   i= 1,2,3,.......n

    Donde: Wi es el peso o coeficiente de ponderación asociada a cada muestra y su valor depende del método de estimación espacial empleado, n es la cantidad de muestras seleccionadas  para hacer la estimación.

    Figura 4.1 Representación bidimensional del caso general de la estimación de recursos asistida por

    computadoras  (Según Sinclair y Blackwell, 2002)

    A continuación se describe detalladamente cada una de estas etapas. Mucho de los aspectos aquí discutidos para los métodos asistidos por computadoras son igualmente válidos para los tradicionales o geométricos

    4.1 Confección de la base de datos

    La estimación  de recursos/reservas a partir de un número limitado de pozos es una de las tareas más complejas que enfrenta un geólogo explorador.  En la medida que avanza la exploración y se van recopilando datos relevantes del yacimiento estos se van organizando en una base de datos. El geólogo debe garantizar la integridad de la misma y tomar las medidas necesarias para evitar los errores de trascripción o digitalización.

    La precisión y exactitud de la estimación de reservas depende de la confiabilidad de los datos sobre los cuales se basa y ningún método de estimación, por muy sofisticado que sea, puede compensar la mala calidad de los datos (Burn, 1981). Queda claro que contar con una buena base de datos es la garantía de una correcta estimación de reservas. Por esta razón, desde el mismo comienzo de los trabajos es necesario implementar procedimientos que garanticen un muestreo representativo y un estricto  control sobre la calidad de los resultados del laboratorio. 

    La base de datos debe integrar todo tipo de datos incluyendo litología, documentación, resultados de los análisis, registros de carotaje, datos hidrogeológicos y geotécnicos.

    Los datos de exploración (pozos, galerías, trincheras etc.) generalmente se guarden en 3 o 4 tablas

    Tabla 1 recoge la posición espacial del pozo y está conformada por los siguientes campos: Nombre del pozo (DDH;BH), coordenadas X;Y;Z de la boca del pozo (collar), profundidad y otros datos adicionales como tipo de perforación, año de la campaña etc.

    Tabla 2 recoge los datos de inclinometría que permiten determinar la posición de las muestras en el espacio. Campos: Nombre del pozo, profundidad de la medición, azimut y ángulo de inclinación o ángulo cenital

    Tabla 3 recoge los datos referentes a las muestras tomadas (testigos) su descripción (litología codificada) y los resultados de los análisis químicos. Campos: Nombre del pozo, desde, hasta, # de la muestra, litología, análisis químicos. Esta tabla en ocasiones se desdobla en dos, una para los análisis químicos y otra para la litología, pues la longitud de los intervalos generalmente no coincide.

    Una vez que la base de datos ha sido compilada el geólogo debe validarla e identificar y eliminar todos los posibles errores. La mejor manera de comprobar la integridad de la base de datos es mostrando la información en perfiles y comparar con el modelo que se tiene del yacimiento. También se acostumbra a comparar un porcentaje  (10%) de los registros con la información original.

    La etapa siguiente tiene como objetivo caracterizar estadísticamente cada una de las variables estudiadas y cuantificar su variabilidad espacial. Estos aspectos son tratados en capítulos independientes (capítulos 3 y 5).

    4.2 Creación del modelo geológico

    La experiencia ha demostrado que el problema principal en la estimación de recursos no esta relacionado directamente con el método de estimación empleado sino con la correcta aplicación de los principios geológicos. La cuestión medular a resolver antes de la estimación de recursos propiamente dicha es establecer la continuidad de la mineralización y la ley dentro del yacimiento. Un muestreo representativo, análisis confiables y una coherente interpretación geológica son los componentes principales de la estimación de recursos (Arseneau y Roscoe, 1997)

    La interpretación geológica siempre se basa en los datos y en el conocimiento que posee el geólogo sobre el yacimiento o del modelo de yacimiento que se estudia. Esto conduce inevitablemente a que los mismos datos sean interpretados de forma diferente por distintos especialistas, y por consiguiente resultados diferentes de la estimación de recursos.

    La interpretación geológica tradicionalmente ha descansado en la construcción de planos y secciones en los cuales se representa la morfología, dimensiones y propiedades del yacimiento (Popoff, 1966). La interpretación de todos los datos recopilados  durante la exploración se basa en 3 enfoques principales:

    ·         Interpretación basada en perfiles y secciones

    ·         Interpretación basada en planos de isolíneas

    ·         Principio de analogía o inferencia geológica.

    En la actualidad aunque el proceso se ha informatizado el procedimiento continúa siendo el mismo y se basa en los enfoques anteriormente descritos.

    En los métodos de estimación asistidos por computadora el conocimiento geológico que posee el geólogo sobre la continuidad de la estructura y la ley se traduce en la definición de zonas o dominios geológicos que poseen una forma geométrica única.

    Los dominios geológicos no son más que zonas geológicamente y estadísticamente homogéneas. Lo que realmente se hace cuando se crea el modelo geológico del yacimiento es subdividir el mismo en subpoblaciones que cumplan o se aproximen a la hipótesis de estacionaridad (ver capitulo 5). La división del yacimiento en dominios siempre debe basarse en el conocimiento geológico y el sentido común. Guibal (1997) señala  que la selección de los dominios geológicos debe estar respaldada y validada por la estadística y la variografía.

    La definición de los límites o contornos de los dominios geológicos, los cuales determinan la geometría de los cuerpos y zonas, es el método básico para aplicar control geológico a la estimación durante la modelación de recursos.

    Los límites o contornos de los dominios geológicos  se clasifican en difusos o gradacionales y  físicos. En los yacimientos que están definidos por limites físicos, (carbón, yacimientos sedimentarios, filones de oro etc.), el trazado de los contornos es relativamente fácil, pues estos coinciden con los planos o contactos geológicos. En el caso de los yacimientos gradacionales (Cobre porfirico) los límites se definen sobre la base de una ley económica o cutoff.

    4.2.1 Métodos para la definición de los contornos

    Existen distintos métodos para correlacionar los límites de los dominios y conformar las superficies o sólido 3D que define la geometría de la unidad geológica en el espacio tridimensional.

    4.2.1.1 Sólidos a partir de los modelos de alambre o wireframe.

    El wireframe es la manera más versátil de definir los límites de los dominios geológicos. Cualquier límite o contorno interpretado en perfiles, planos o directamente en 3D puede ser combinado para formar el modelo de alambre y finalmente generar el sólido de la unidad geológica.

    Para generar el sólido a través de este método se digitaliza interactivamente en la pantalla de la computadora los límites o contornos de las unidades geológicas que constituyen el depósito (fig. 4.2). La interpretación de cada unidad en los perfiles es representada por un polígono cerrado que posee una orientación y posición espacial, un código que indica el dominio geológico que encierra y una potencia o zona de influencia lo que hace que cada perímetro englobe cierto volumen.

    Existen herramientas que garantizan que los contornos de unidades contiguas en un perfil coincidan, de forma tal que no queden huecos o espacios vacíos en el modelo geológico.

    Figura 4.2 Interpretación de los límites de los dominios geológicos a partir de los datos mostrados en perfiles.

    Una vez que el mismo dominio geológico ha sido interpretado en los distintos perfiles entonces se procede a correlacionar  la unidad geológica  en perfiles contiguos para lograr una representación 3D del cuerpo geológico (fig. 4.3). Los perímetros (contornos) digitalizados se van uniendo por los puntos de inflexión correspondientes en los perfiles a través de líneas de enlace (tie lines) hasta completar el wireframe  que encierra el volumen geológico 3D. Esta correlación sección a sección se requiere cuando los contornos son irregulares (bifurcaciones, fallas, acuñamientos, etc.). Si  las unidades geológicas muestran una clara continuidad en 3D entonces no es necesaria la correlación interactiva y se puede prescindir de las líneas de enlace, en su lugar se usa un algoritmo de interpolación lineal de los límites en las secciones

    Los modelos sólidos creados pueden ser cortados por planos de cualquier orientación y espaciamiento, esto nos permite corroborar nuestras interpretaciones en otra dirección cualquiera.


    Figura 4.3 Creación del modelo sólido 3D a partir del perfiles previamente interpretados.

    Como toda la información en  los softwares de modelación y estimación de recursos es manejada en el espacio  no es necesario realizar la interpretación de los limites a partir de perfiles y planos, esta puede hacerse directamente en el espacio 3D.

    4.2.1.2 Sólidos generados partir de superficies (Método de superficies)

    Muchas veces es posible confeccionar los sólidos modelando las superficies estructurales que limitan por encima y por abajo los cuerpos geológicos. Este enfoque puede ser empleado en yacimientos estratiformes de poca complejidad estructural

    Este método se realiza en 3 pasos fundamentales:

    §          Extracción de los puntos que yacen en las superficies (techo y piso) a partir de la intercepción de la traza del pozo con los planos estructurales)

    §         Modelación de las superficies (triangulación o gridding)

    §         Combinación de las superficies y generación del sólido

    Existen 2 variantes de modelación  de superficies:

    Modelación de superficie por triangulación

    La  superficie de contacto se modela usando una red optimizada de triángulos irregulares (TIN) que conectan los puntos con coordenadas conocidas. La triangulación se realiza en un plano de referencia que debe ser paralelo a la superficie considerada, el mosaico de triángulos se genera sobre la base de la coordenadas X;Y  mientras que la Z define la topología. Para generar el TIN se utiliza el método de Delaunay (Voronoi, Thiessen). 

    Cualquier superficie puede ser modelada (superficie topografica, planos de fallas etc.), interceptada con el plano del perfil (viewplane) y ser utilizada para controlar la interpretación geológica. La modelación de estas superficies controladoras es el primer paso en la modelación geológica en 3D.

    Para la triangulación se debe tener el máximo de información posible sobre la superficie a modelar. Esta información debe estar libre de errores o inconsistencias como pueden ser puntos con las mismas coordenadas, curvas de nivel que se corten (strings) o puntos que no residan en la superficie.

    El método de triangulación  no suaviza y respeta la información original, aspecto muy importante cuando la Z del punto se conoce con bastante certidumbre (superficie topográfica, planos de falla), puede ser aplicado a superficies de cualquier orientación (horizontal, inclinado o vertical), da la posibilidad de representar las discontinuidades (breaklines) y no genera superficie más allá  de los puntos extremos.

    Modelación de superficie por interpolación (malla -gridding)

    Representa la superficie como un malla o matriz bidimensional (formato RASTER) y requiere la interpolación de la cota en los nodos de la red. El método tiene el inconveniente que la representación es solo en el plano horizontal, lo que limita su uso para modelar superficies inclinadas, además suaviza los datos originales al tener que interpolar. Para generar la malla se utilizan diferentes técnicas de interpolación espacial (inverso de la , kriging, vecino más cercano, etc.).

    La combinación de las superficies controladoras permite el sólido que representa el dominio geológico estudiado.

    4.3 Modelo de recursos

    Una vez obtenido el modelo geológico entonces resta establecer la variación espacial de las distintas variables de interés (leyes), además de determinar los recursos, ley media y cantidad de metal en cada dominio geológico y en el yacimiento en general.  

    4.3.1 Método de bloques

    El método más usado en la modelación de recursos  consiste en la discretización del espacio 3D en bloques o celdas tridimensionales (voxels) (fig.4.5). Cada celda contiene los atributos (litología, tipo de mineralización etc.) y las mediciones (leyes, propiedades físico mecánicas) del dominio geológico en que se encuentra. Los atributos de los bloques se determinan sobre la base de la intersección con el modelo geológico o su posición respecto a una superficie triangulada y las leyes a través de la estimación con técnicas de interpolación espacial.

     

     

    Figura 4.5 Modelo de bloque

    El primer modelo de bloque fue utilizado a comienzos de los años 60 por la Kennecott Koper Corporation en un depósito de pórfido cuprífero. Se empleó para describir la distribución espacial de las leyes y no la geometría  de los dominios geológicos.

    Cada bloque debe contener toda la información disponible en las fases de desarrollo de un proyecto: litología-mineralogía, contenidos de metales, calidades en el caso del carbón y rocas industriales, contenidos de contaminantes, parámetros geomecánicos, datos hidrogeológicos, etc.

    Para definir el modelo de bloque es necesario establecer los siguientes parámetros (Fig.4.6)

    §         Posición del modelo: se especifica a partir de las coordenadas del centroide  del bloque llave (key block).

    §         Extensión del modelo en las distintas direcciones X, Y, Z (debe ser lo suficientemente grande para enmarcar la región de interés)

    §         Dimensiones de las celdas o bloques por la X, Y y Z.

    §         Orientación del modelo definido  (ángulo de inclinación y el azimut)

    §         Conjunto de variables a almacenar en el modelo con sus correspondientes formatos: ley de los distintos metales, peso volumétrico, litología, tipo tecnológico de mena etc.

    Con el objetivo de alcanzar una mayor resolución del modelo de bloque en los límites de los cuerpos minerales se utilizan bloques (sub bloques) con dimensiones menores que los originales. También se pueden utilizar voxels con tamaños variables en distintas partes del depósito (Ej.  zonas con diferente grado de estudio o continuidad espacial). El modelo de bloques puede ser rotado y orientado de manera que se ajuste a la estructura geológica y respete los elementos de yacencia del yacimiento estudiado.

    Figura 4.6 Parámetros que definen el modelo de bloque: Posición del bloque llave (Xmorg, Ymorg, Zmorg), dimensiones del bloque (dx, dy, dz), extensión del modelo (X (nx), Y (ny), Z (nz). 

    Un aspecto de  primordial importancia en el modelo de bloque lo constituye la selección de  las dimensiones del bloque. Lo ideal en este caso es que el tamaño del mismo coincida con la unidad de selección minera que será empleada durante la explotación del yacimiento, sin embargo en muchas ocasiones esto no es posible pues no se cuenta con la densidad suficiente de información. Cabe destacar también que al disminuir el tamaño del bloque  se aumenta el error de estimación, es decir, su ley se determina con un alto grado de incertidumbre. Ahora bien, al aumentar el tamaño del bloque las leyes son emparejadas artificialmente. Según la teoría geoestadística por lo menos un tramo del pozo debe quedar dentro de cada bloque, y que estos tramos estén uno del otro a una menor que el alcance del variograma, o sea, dentro de la distancia que se estima que una muestra tiene influencia sobre la otra.

    Este enfoque teórico en muchos casos  no es práctico desde el punto de vista técnico (demasiados subbloques para poder respetar los límites del modelo geológico y lograr una buena precisión en el cálculo del volumen, distintas redes de exploración etc.) y generalmente se prefiere examinar el yacimiento en unidades de selección más pequeñas. Por esta razón se asume la siguiente regla ampliamente manejada en la literatura: el tamaño del bloque puede ser tan grande como el espaciamiento medio de la red y no debe ser menor  a ¼  o 1/3  del espaciamiento de esta  (Houlding, 1994; Duke et. al., 1991).

    La determinación de las dimensiones óptimas del bloque depende principalmente de:

    • Variabilidad de las leyes.
    • Continuidad geológica de la mineralización.
    • Tamaño de las muestras y espaciamientos entre ellas.
    • Capacidades de los equipos mineros.
    • Taludes de diseño de la explotación.

     4.3.2 Modelo de capa

    Aunque el modelo de bloques es el más empleado en la práctica este es más apropiado para depósitos de forma isométrica. Para yacimientos relativamente planos como pueden ser los yacimientos estratiformes y tabulares, es preferible estimar las reservas en 2D, para lo cual se proyecta el cuerpo en un plano, se contornea y delimitan los dominios geológicos, se superpone una matriz de bloque 2d  y finalmente se estima en cada bloque las variables de interés empleando el método de inverso de la distancia o kriging. Un procedimiento similar a este fue explicado en el método de isolineas en el capítulo referente a los métodos clásicos, con la diferencia de que en este caso se emplea un método más sofisticado para la interpolación espacial de las variables de interés.

    Otra variante para este tipo de yacimiento es continuar trabajando en 3D y emplear un modelo de capa  o de lámina, el cual es muy similar al modelo de bloque pero la Z de los bloques es variable y depende de la  altura ente el piso y el techo  del cuerpo.

    Se emplea en yacimientos donde su extensión horizontal es mucho mayor  que su dimensión transversal (espesor) y donde la variación de la ley en esa dimensión es despreciable o no se puede determinar (Filones, vetas, yacimientos lateríticos y aluviales).




    Al igual que en el caso anterior hay que definir la posición del modelo, su extensión, dimensiónes de las celdas (X,Y) y las variables a almacenar. La altura de la celda se define por la diferencia de las cotas (Z) de las superficies trianguladas que definen el la unidad geológica.

    Una vez definido el modelo de bloque que ocupa toda la región de interés entonces se procede a estimar la variación espacial de las distintas variables definidas en el modelo, para lo cual se usa una amplia gama de técnicas de interpolación que serán discutidas a continuación. 

    5 Métodos de estimación espacial

    5.1 Método del Inverso de la distancia

    Este fue posiblemente el primer método analítico para la interpolación de los valores de la variable de interés en puntos no muestreados.  Esta técnica se ha convertido en una de las más populares gracias a la aparición de las computadoras y relativa sencillez. En principio se adopta la hipótesis de que importancia de un dato aislado responde a una función inversa de la distancia. El objetivo del método es asignar un valor a un punto o bloque mediante la combinación lineal de los valores de las muestras próximas.

     Z*(x) = Ã¥ li Z(xi)

    En la que li son los pesos o coeficientes de ponderación proporcionales a la distancia euclidiana entre las localizaciones muestreadas y la que se desea estimar, estos pesos son calculados por:

                li = (1/doi)/ Ã¥1/doj

    Donde: doi es la distancia entre la localización a estimar y la localización de la muestra i.

    Generalizando obtenemos:

                Z*(x) = [Ã¥i=1,n 1/doi Z(xi)] / Ã¥i=1,n1/doj

    Se pueden obtener distintos estimadores si escribimos la ecuación anterior como:

                Z*(x) = [Ã¥i=1,n (1/doi)w Z(xi)]  / Ã¥i=1,n(1/doj)w

                  Z*(x) = [Ã¥i=1,n Z(xi)/ (XDi2 + YDi2)w/2 /] / Ã¥i=1,n1/ (XDi2 + YDi2)w/2

    Note que si el exponente de la distancia w = 1 obtenemos la ecuación anterior.

    Es intuitivo suponer que la influencia potencial del valor de una muestra sobre un punto o bloque a estimar decrece cuando este se aleja de dicho punto. El atributo estimado cambiará como función inversa de  la distancia. En otras palabras, se asigna mayor peso a los valores de las muestras más  próximas y menor peso a las más alejadas del punto de estimación.

    Para aplicar el método es necesario en primer lugar escoger el valor del exponente del inverso de la distancia. Por la fórmula queda claro que en la medida que este aumenta disminuye  la influencia de los valores de las muestras más alejadas, en esa misma medida aumenta la de las  más próximas.  Con el incremento de la potencia, la interpolación de las leyes entre 2 puntos pasa del principio de los cambios graduales (w=1)  al principio de los vecinos más cercanos (w ® Ñ). Se debe resaltar que difícilmente en la naturaleza la concentración de un elemento químico se subordine a la ley de la línea recta y mucho menos al principio de las zonas de influencia. Un exponente igual a dos produce una interpolación intermedia (solución de compromiso) entre ambos principios. Por esta razón, el método se conoce también como inverso de la distancia al cuadrado. Los exponentes más usados en la práctica son 2, 3 y1.  Para seleccionar el valor que se va  a emplear se puede utilizar la validación cruzada. Si el exponente es cero el método del inverso de la distancia se reduce a una media aritmética dentro de la vecindad de búsqueda  o sea a todas las muestras se le asigna un mismo peso independientemente de la distancia que la separa del punto a estimar.  

    5.1.1  Área o vecindad de búsqueda

    Para decidir cuales son las muestras que se emplearan para estimar el valor del bloque o punto dentro del yacimiento  se define la vecindad o área de búsqueda. La vecindad de búsqueda bidimensional se emplea cuando la estimación de reservas se realiza en un plano de proyección.

    El área de búsqueda  2D puede ser circular o elíptica. La vecindad circular se emplea cuando la mineralización en el yacimiento se considera isotrópica  o sea cuando la variabilidad de la ley y la potencia es la misma en todas direcciones. El radio  del círculo se argumenta sobre la base del conocimiento geológico del yacimiento o los resultados de la variografía (ver métodos geoestadísticos).

    Una vez seleccionado el radio de búsqueda se calcula la distancia entre el centro del bloque que se desea estimar y cada una de las muestras vecinas. Todas aquellas muestras que se localizan a una distancia mayor  que el radio se excluyen  y no participan en la estimación del bloque.

    Figura 5.1 Ponderación por el método del inverso de la distancia  empleando una vecindad de búsqueda circular

    El procedimiento general se puede observar en la figura 5.1. Como los 3 pozos caen dentro del círculo de búsqueda  todos son utilizados para estimar el valor de la ley del bloque. El peso asignado a la muestra más próxima aumenta con el incremento de valor de w. En este caso  concreto esto provoca una disminución de la ley pues la muestra más cercana es la de menor concentración. La ley del bloque fue estimada ponderando simplemente por el inverso de la distancia, si la potencia es variable entonces la ecuación se modifica de la siguiente manera:

    Z*(x) = [åi=1,n 1/doi Z(xi)*mi] / åi=1,nmi/doj

    Si la mineralización es anisotrópica entonces se utiliza una vecindad de búsqueda elíptica. La elipse debe orientarse de forma tal que el eje mayor (a) coincide con la dirección de máxima continuidad y el eje menor (b) con la dirección de mayor variabilidad o mínima continuidad.

    En estos casos el método del inverso de la distancia puede ser modificado para acomodar la anisotropía del fenómeno y asignar mayor peso a las muestras ubicadas en la dirección de máxima continuidad o en las cercanías de esta. Esta modificación permite acercar los resultados de este método de estimación  a los obtenidos por kriging (ver Annels,1991) .

    Si la estimación de recursos se realiza en el espacio 3D entonces para la selección de las muestras se emplea una volumen  de búsqueda tridimensional que puede ser una esfera (cubo) si el yacimiento es isotrópico  o un elipsoide (paralelepípedo) si es anisotrópico.  En este caso se necesita definir 3 ejes (mayor, intermedio y menor) y orientar correctamente el volumen de búsqueda en el espacio. El procedimiento de selección de las muestras es similar al caso 2D. 

    Una vez determinada las dimensiones y la orientación del volumen de búsqueda es posible aplicar otras restricciones a la vecindad pues no todas las muestras que caen dentro de ellas tienen necesariamente que ser empleadas en la interpolación. Generalmente se fija un  número máximo y mínimo por volumen de búsqueda. Si dentro del área existen más muestras que el máximo fijado entonces el algoritmo selecciona entre las más cercanas un número que coincide con el máximo definido, si la cantidad de muestras no sobrepase  el mínimo requerido entonces el bloque no se estima. Este tipo de restricciones permite simplificar los cálculos al  no considerar aquellas muestras, que a priori se conoce tienen poca influencia sobre el bloque que se desea estimar.

    Como regla el número máximo de muestras dentro del volumen puede variar entre 4-18 dependiendo de la red y las dimensiones de la vecindad de búsqueda que a su vez es función de la continuidad espacial de la mineralización definida con la ayuda del variograma.

    El volumen de búsqueda alrededor del bloque se puede dividir en sectores (1, 4 u 8) y posteriormente se procede  a escoger de cada sector un número determinado de las muestras más cercanas al bloque. La búsqueda por cuadrante (4 sectores) u octantes  (8 sectores) permite reducir el sesgo provocado por la aglomeración de los pozos o muestras en ciertas áreas del yacimiento.

    Figura 5.2 Impacto del empleo de la vecindad de búsqueda por sectores en la selección de las muestras  a) búsqueda sin restricción (1 sector) todas las muestras seleccionadas proceden de un solo pozo b) búsqueda por octantes (8 sectores) se selecciona 2 muestras de cada pozo.

    La figura 5.2 muestra una situación hipotética donde se tienen 4 pozos de exploración con 8 muestras regularizadas cada uno.  Si se establece un volumen de búsqueda (global) y un máximo de 8 muestras para estimar el bloque, entonces se seleccionan las 8 muestras pertenecientes al pozo  F1 que es el más cercano al centro del bloque. Esto lógicamente no es lo ideal pues se está descartando  la información brindada por el resto de los pozos.

    Ahora bien, si la búsqueda se realiza por octantes en lugar de un solo sector y se establece un máximo de una muestra por sector entonces se logra seleccionar las muestras más cercanas de cada uno de los 4 pozos (2  muestras por pozos) lo cual garantiza una mejor representatividad espacial de la selección realizada.

    Este ejemplo demuestra que en la estimación de reservas la selección de las muestras dentro del volumen de búsqueda debe realizarse por sectores para lograr un buen muestreo espacial, en caso contrario se corre el riesgo de evaluar un bloque empleando solamente las muestras del pozo más próximo.

    5.1.2 Consideraciones finales sobre el método del inverso de la distancia 

    Esta técnica suaviza los valores de la variable estimada por lo cual el método brinda mejores resultados en aquellos yacimientos en los que la ley varía de forma gradual   (yacimientos de cobre porfírico, yacimientos de calizas etc.)

    La principal crítica que se le hace a esta técnica de interpolación espacial es que da los mismos resultados independientemente del tamaño del bloque que se desea estimar (Annels,1991). Esto es motivado poque lo que realmente se estima es el centro del bloque  (estimador puntual). 

    Para revertir este problema Yamamoto, 1992  propone dividir los bloques en subloques, estimar puntualmente cada uno de ello por el método del inverso de la distancia y posteriormente combinar los estimados parciales para calcular el valor medio del bloque. Esto es un procedimiento muy similar al empleado por el Kriging de bloque. Según este autor la combinación de los estimados de los subloques  a partir del cálculo del promedio de los estimados parciales es equivalente a la estimación de  los coeficientes de ponderación  medios de las muestras en los subloques, lo cual  permite realizar una estimación directa de la ley del bloque por  este método.

    Se debe destacar  que todas las modificaciones introducidas al método para que pueda considerar la anisotropía de la mineralización, la posibilidad de emplear búsqueda por sectores lo cual permite desagrupar las muestras y la variante de estimar directamente la ley del bloque  hacen que los resultados obtenidos por este método se aproximen mucho a lo brindados por los métodos geoestadísticos.

    En resumen el método es muy potente y se utiliza ampliamente en la práctica de la estimación de recursos en sustitución de los métodos geoestadísticos cuando no es posible obtener modelos matemáticos que describan la variabilidad espacial de la mineralización en el yacimiento. 

    5.2 Métodos geoestadísticos5.2.1Geoestadística, concepto.

    La Geoestadística se define como la aplicación de la Teoría de Funciones Aleatorias al reconocimiento y estimación de fenómenos naturales [Journel, A, G. and Huijbregts, C.J., 1978], o simplemente, el estudio de las variables numéricas distribuidas en el espacio [Chauvet, P., 1994 Los fenómenos distribuidos en el espacio, la mineralización en un yacimiento mineral por ejemplo, presenta un carácter mixto, un comportamiento caótico o aleatorio a escala local, pero a la vez estructural a gran escala. Se puede entonces sugerir la idea de interpretar este fenómeno en términos de Función Aleatoria (FA), es decir, a cada punto x del espacio se le asocia una Variable Aleatoria (VA) Z(x), para dos puntos diferentes x e y, se tendrán dos VAs Z(x) y Z(y) diferentes pero no independientes, y es precisamente su grado de correlación el encargado de reflejar la continuidad de la mineralización, o de cualquier otro fenómeno en estudio, de modo que el éxito de esta técnica es la determinación de la función de correlación espacial de los datos [Zhang, R., 1992]. Su estimador, El Kriging, tiene como objetivo encontrar el Mejor Estimador Lineal Insesgado a partir de la información disponible, y en efecto, el valor estimado obtenido Z*(x) de un valor real y desconocido Z(x), consiste en una combinación lineal de pesos asociados a cada localización donde fue muestreado un valor Z(xi) (i = 1,…n) del fenómeno estudiado, observando dos condiciones fundamentales:

    1.- que el estimador sea insesgado. E[Z* - Z] = 0,

     2.- que la varianza Var [Z* - Z] sea mínima, consiguiéndose de este modo minimizar la varianza del error de estimación.

    5.2.4 El Análisis Estructural.

    El Análisis Estructural o estudio variográfico según [Armstrong, M., y Carignan, J., 1997] está compuesto por:

    "       El cálculo del semivariograma experimental.

    "       El ajuste a este de un modelo teórico conocido.

    El cálculo del semivariograma experimental es la herramienta Geoestadística más importante en la determinación de las características de variabilidad y correlación espacial del fenómeno estudiado [Chica-Olmo, M., 1987], es decir, tener conocimiento de como la variable cambia de una localización a otra [Lamorey, G., and Jacobsom, E.,1995], [Issaks & Co.,1999], representando el útil más importante de que dispone el geoestadístico para el análisis del fenómeno mineralizado o de la variable de distribución espacial en estudio.

    5.2.4.1 El semivariograma experimental

    El variograma se define como la media aritmética de todos los cuadrados de las diferencias entre pares de valores experimentales separados una distancia h. [Journel, A, G. and Huijbregts, C. J.,1978], o lo que es lo mismo la varianza de los incrementos de la variable regionalizada en las localizaciones separadas una distancia h.

    Var{Z(x+h)-Z(x)} = 2g(h)

    La función g(h) se denomina semivariograma, el cual puede ser obtenido por la expresión.

                                  

    donde: Np(h)    es el número de pares a la distancia h.

                            h          es el incremento.

                            Z(xi)      son los valores experimentales.

                            xi          localizaciones donde son medidos los valores z(xi).

    Aunque la función g(h) por definición es un semivariograma (la mitad del promedio de las diferencias al cuadrado) en la literatura científica se ha arraigado el término variograma (por definición es 2g(h)), esto ha provocado que ambos términos se empleen indistintamente. Su cálculo no consiste en una simple evaluación de su expresión, según se plantea en [Krajewski, S. A. and Gibbs, B.L., 1993], [Journel, A, G. and Huijbregts, C. J., 1978], [David, M.,1977], [Xie, T., and Myers, D.E.,1995a] y [Pannatier, Y.,1993] esta operación está relacionada con los elementos siguientes:

    La dirección en la que será calculado el semivariograma, uno o dos ángulos que definen una dirección en el espacio a (azimuth) y/o b (inclinación) con tolerancias angulares da y/o db. El semivariograma calculado usando tolerancia angular de 90º se denomina "semivariograma medio" u "omnidireccional".

    El incremento o paso en el cálculo del semivariograma h y su tolerancia lineal dh, se recomienda que el valor de dh sea la mitad del incremento inicial.

    Una distancia, que representa la distancia máxima a que pueden estar alejados los segundos puntos del par con respecto a la línea que define la dirección de cálculo, conocido como Ancho de Banda.

    La distancia Lmáx hasta la cual será calculado el semivariograma, se recomienda que ésta sea la mitad de la distancia entre las muestras más alejadas [Armstrong, M., y Carignan, J., 1997] [Krajewski, S. A. and Gibbs, B.L., 1993], aunque dependiendo de la geometría del fenómeno regionalizado en algunos casos puede ser calculado hasta una distancia superior.

    En la mayor parte de los casos g(h) crece hasta cierto límite llamado meseta, en otros casos puede crecer indefinidamente. El comportamiento en el origen puede tener diferentes formas como son según [Armstrong, M., y Carignan, J., 1997], [Journel, A, G. and Huijbregts, C. J., 1978], [Chica-Olmo, M., 1987] (Figura 5.7).

    Parabólico: Caracteriza a una variable muy regular, siendo continua y diferenciable.

    Lineal: Caracteriza a una variable continua, pero no diferenciable, es decir menos regular.

    Discontinuidad en el origen: "Efecto de pepita", es el caso en que g(h) no tiende a cero cuando h tiende a cero. Representa a una variable muy irregular.

    Discontinuo puro: Llamado también ruido blanco, representa el caso de mayor discontinuidad o ausencia de estructura espacial, donde los valores de dos puntos cualesquiera no tienen correlación alguna.

    El variograma experimental es calculado en diversas direcciones. Inicialmente se estima el  semivariograma medio, global  u "omnidireccional", como su nombre lo indica no depende de la dirección solamente de la magnitud de h, el cual proporcionando una idea inicial de la variabilidad espacial de los datos, siendo el más idóneo para representar u  obtener una estructura clara y definida. Posteriormente deben ser calculados los semivariogramas en diferentes direcciones, puede ser calculado en 4 direcciones separadas 45º con tolerancia angular de 22.5º, comenzando por 0º (fig. 5.8) hasta encontrar la dirección de máxima o mínima variabilidad, pueden ser calculados también, más específicamente, en 8 direcciones separadas por 22.5. También se calcula el variograma vertical (down hole), el cual se estima en la dirección ortogonal a la superficie del yacimiento mineral  esto es en la dirección en la que fueron perforados los pozos.

    El variograma vertical (down hole) es de singular importancia pues es calculado en la dirección en la cual se posee mayor cantidad de datos. Esto hace que habitualmente se emplee el variograma calculado en la dirección de los pozos para evaluar la forma o comportamiento del variograma en el origen y determinar el efecto pepita (nugget).

    5.2.5 Modelado de Semivariogramas.

    El modelado de semivariogramas consiste de dos etapas fundamentales [Xie, T., and Myers, D.E., 1995a], una vez construido el semivariograma experimental o empírico es necesario ajustar a este un modelo teórico, con el objetivo de determinar los parámetros descriptivos del semivariograma que posteriormente serán usados en la estimación.

    5.2.5.1 Parámetros del semivariograma.

    Los parámetros del semivariograma caracterizan tres elementos importantes en la variabilidad de un atributo que son: la discontinuidad en el origen (existencia de Efecto de Pepita), el valor máximo de variabilidad (Meseta), y el área de influencia de la correlación (Alcance), (fig. 5.9).

    El Efecto Pepita (Nugget): El semivariograma por definición es nulo en el origen, pero en la práctica las funciones obtenidas pueden presentar discontinuidad en el origen, a esta discontinuidad se le llama Efecto de Pepita, en ingles (Nugget effect). Puede ser obtenido trazando una línea recta entre los primeros puntos del semivariograma empírico y extender ésta hasta que se intercepte con el eje Y. Si esta intersección ocurre por debajo de cero, el valor asumido por este efecto es cero, pues valores negativos de g(0) no tiene significado y no es común. El Efecto Pepita se representa como Co.

    La Meseta (Sill): Es el valor de g(h) para el cual con el aumento de h su valor permanece constante, se representa como (CT = C + Co) y se denomina Meseta. Puede obtenerse trazando una línea paralela a la abscisa y que se ajuste a los puntos de mayor valor del semivariograma y su valor se lee en la intersección de esta línea con la ordenada.

    El Alcance (Range): La distancia h para la cual las variables Z(x) y Z(x+h) son independientes, se denomina Alcance y se representa por (a), es decir, las distancias para la cual los valores de la variable dejan de estar correlacionados, o lo que es lo mismo, la distancia  para la cual el semivariograma alcanza su Meseta.

    El alcance siempre tiene valor positivo y puede ser obtenido a partir de la intersección  de las líneas descritas en los puntos anteriores, ese punto leído en la abscisa es una fracción del propio Alcance, fracción que se detallara posteriormente en la explicación de los modelos teóricos

    Los modelos de variograma teórico utilizado en el proceso de estimación o simulación deben satisfacer ciertas condiciones, es decir tienen que ser "definido positivo" o de "tipo positivo". En general el ajuste de modelos teóricos al variograma empírico se realiza de forma visual.

    Atendiendo a las dos características más importantes en el modelado de semivariogramas que son según [Journel, A, G. and Huijbregts, C. J.,1978]: 1.- Su comportamiento en el origen, el cual puede ser linear, parabólico y con Efecto de Pepita y 2.- La presencia  o ausencia de Meseta.  Estos modelos son:

    5.2.5.2 Modelos Teóricos de Semivariogramas.

    Los modelos de variograma teórico utilizado en el proceso de estimación o simulación deben satisfacer ciertas condiciones, es decir tienen que ser "definido positivo" o de "tipo positivo". En general el ajuste de modelos teóricos al variograma empírico se realiza de forma visual.

    Atendiendo a las dos características más importantes en el modelado de semivariogramas que son según [Journel, A, G. and Huijbregts, C. J.,1978]: 1.- Su comportamiento en el origen, el cual puede ser linear, parabólico y con Efecto de Pepita y 2.- La presencia  o ausencia de Meseta.  Estos modelos son:

    Efecto de Pepita: Corresponde a un fenómeno puramente aleatorio (ruido blanco), sin correlación entre las muestras, cualquiera sea la distancia que las separe, (fig.5.10a), donde C representa el valor de la meseta.

    g(h)       = 0       h = 0

              = C        | h | > 0

    Modelo Esférico: Este modelo es probablemente el más utilizado, es una expresión polinomial simple, en su forma representada en la figura 5.10b, se puede observar un crecimiento casi lineal y después a cierta distancia finita del origen se alcanza una estabilización, la Meseta. La tangente en el origen encuentra a la Meseta en el punto de abscisa (2/3)a, donde a representa el valor del alcance.

    g(h) =    C [ (3/2)(h/a) - ½(h/a)3 ]     h ú a

               C                                             h > a

    Modelo Exponencial: Este modelo a diferencia del esférico crece inicialmente más rápido y después se estabiliza de forma asintótica (fig. 5.10c). Como la Meseta no se alcanza a una distancia finita, se usa con fines prácticos el "alcance efectivo" o "alcance práctico" a´, valor que se obtiene en el punto de abscisa para el cual el modelo obtiene el 95% de la Meseta, con un valor a´=3a,  donde a es el parámetro de escala. La tangente en el origen encuentra a la meseta en el punto a=(1/3)a´.

    g(h) = C [1 - Exp(-|h|/a)]  h ú a

                C                                 h > a

    Modelo Gaussiano: Este es un modelo extremadamente continuo (fig. 5.10d), inicialmente presenta un comportamiento parabólico en el origen, después al igual que en el modelo Exponencial se alcanza la meseta de forma asintótica. El alcance práctico tiene un valor de a´=1.73a, que es el valor de la abscisa donde se alcanza el 95% de la Meseta.

    g(h)= C [ 1 - Exp(-|h|2/a2)]    h ú a

                C                               h > a

    Modelo con función potencia: Este es un modelo sin meseta, su forma se representa en la figura 5.10e, para valores de a correspondientes a 0.5, 1.0 y 1.5.

    g(h)       = |h|a    con a ÃŽ]0, 2[

    Para el valor de a=1 en el modelo anterior se obtiene el modelo Lineal, al cual no tiene ni Meseta ni Alcance. Ahora por efectos prácticos, sin embargo, muchos programas informáticos denotan la pendiente del modelo lineal con la relación C/a, Figura 5.10f.

    g(h)       = (C/a) |h|

    Estos modelos pueden ser ajustados individualmente, aunque es posible encontrar en la práctica aplicaciones donde a los semivariogramas experimentales se les debe ajustar más de un modelo teórico, es decir, a través de superposición, nombrándose estructuras imbricadas. [Krajewski, S. A. and Gibbs, B.L., 1993], [Journel, A, G. and Huijbregts, C. J., 1978], [David, M., 1977]

    5.2.9 Métodos geoestadísticos de estimación

    Todo lo expresado hasta aquí tiene un único objetivo, conocer la información disponible para realizar estimaciones [Journel, A, G. and Huijbregts, C. J., 1978], [David, M., 1977], [Armstrong, M., y Carignan, J., 1997], es decir, estimar valores desconocidos a partir, no sólo de los conocidos, sino también de su estructura de continuidad espacial.

    Inicialmente, Matheron denominó a esta técnica Krigeage (en francés) que en ingles se convierte en Kriging y en español se escribe Kriging. Este término que tiene su origen en el apellido de D.G. Krige, reconociendo de esta forma su aporte.

    5.2.9.1 Ecuaciones del Krigeage.

    Se dispone de los valores muestreados Z(xi), i=1,…,n, y deseamos estimar un valor de la característica observada en el panel Z(v) por una combinación lineal de Z(xi).

    Z*(v) = Ã¥ li Z(xi), 

    donde Z*(v) es el valor estimado y li son los peso de Kriging, de modo que los li sean obtenidos de tal forma que proporcione un estimador:  Insegado:   E[Z*(v) - Z(v)] = 0 y de varianza mínima:  Var[Z*(v) - Z(v)].

    Teniendo en cuenta las hipótesis de la Geoestadística se pueden obtener las ecuaciones del Kriging para los siguientes casos: Función Aleatoria Estacionaria de Esperanza Nula o Conocida, método conocido como Kriging Simple. Para una Función Aleatoria Estacionaria de Esperanza Desconocida, y una Función Aleatoria Intrínseca, método conocido como Kriging Ordinario.

    A continuación se presenta el sistema Kriging para estos casos:

    Kriging Simple.

    Estimador:                    Z*(v) =  Ã¥ li Z(xi) + m(1- Ã¥li).

    Sistema:                      Ã¥ li C(xi, xj) = C(xj, v)        j = 1,…,n

    Varianza de Kriging:      s2 = C(v,v) - Ã¥ li C(xi, v)

    Kriging Ordinario.

    En términos de la Covarianza.

    Estimador:                               Z*(v) =  Ã¥ li Z(xi)

    Sistema:                                  Ã¥ li C(xi, xj) - m = C(xj, v)       i,j = 1,…,n

    å li = 1

    Varianza de Kriging:                  s2 = C(v,v) - Ã¥ li C(xi, v) + m

    En términos del Semivariograma.

    Estimador:                               Z*(v) =  Ã¥ li Z(xi)

    Sistema:                                  Ã¥ li g(xi, xj) + m = g(xj, v)        j = 1,…,n

    å li = 1

    Varianza de Kriging:                  s2 = Ã¥ li g (xi, v) - g(v,v) + m

    Sobre el sistema Kriging es necesario hacer algunas observaciones según [Journel, A, G. and Huijbregts, C. J.,1978]:

    1.- El sistema Kriging tiene una solución única si y solo sí la matriz de K es definida estrictamente positiva, es decir:

                Ã¥i=1,nÃ¥j=1,n lilj C(xi, xj) ³ 0                       

    o en términos de variograma:

                - Ã¥i=1,nÃ¥j=1,n lilj g(xi, xj) ³ 0

    y no existen datos con las mismas coordenadas.

    2.- El Kriging, el cual es un estimador insesgado, es también un interpolador exacto, es decir, para iguales soportes de observación va (a=1,…,n) y de estimación V, Los valores real Za y estimado Z* son iguales, además de que la varianza de Kriging s2k es cero.

    3.- Las expresiones del sistema Kriging y de la Varianza de  Kriging son completamente generales, es decir, son aplicables cualquiera sean los soportes de observación y estimación y el modelo estructural empleado.

    4.- El Sistema Kriging y la Varianza de Kriging dependen sólo: del modelo estructural C(h) o g(h) obtenido y de la geometría del soporte de observación. Esta característica da la posibilidad de que la Varianza de Kriging sea usada cuidadosamente para el estudio de redes y la clasificación de reservas.

     Es importante tener en mente que aunque la asignación de pesos que hace el kriging, sobre la base del modelo de variograma, es óptima, en el sentido que minimiza la varianza de estimación, puede asignar pesos negativos y positivos lo cual implica que se pueden obtener valores de contenido negativos. Por esto los resultados obtenidos por estos métodos siempre tienen que ser chequeados contra el modelo geológico y los valores de las muestras que conforman la base de datos.

    5.3 Modelación del contenido y otras variables de interés

    En esta etapa el geólogo debe decidir cual método empleará para modelar en el modelo de bloque la variación espacial de la ley y de otras variables cuantitativas de interés para el proyecto. Esta decisión no tiene una respuesta única y estará condicionada fundamentalmente por las características de la mineralización y el tipo de distribución al que se ajustan las variables estudiadas. 

    Durante la estimación se emplean técnicas de control que obligan al interpolador   a respetar la interpretación geológica. El primer método para aplicar control geológico a la estimación se conoce como método de control por dominios y consiste en estimar los bloques de un determinado sector del yacimiento con las muestras que pertenecen únicamente a dicha unidad geológica, esto se logra asignándole el mismo código a las muestras y bloques que pertenecen al dominio geológico. El otro método de controlar la estimación es a través de estrategias de búsqueda  este punto ya fue ampliamente abordado.

    Una vez que se han estimado las leyes  y el resto de las variables se procede a chequear el modelo de bloque construyendo perfiles y planos, que permitan visualizar los resultados obtenidos, y comparando los valores de las muestras originales con los valores estimados para cada variable. También se recurre a la estadística descriptiva para caracterizar los estimados y hacer las comparaciones pertinentes. De esta forma se pueden detectar errores en la estimación. Una pésima práctica es esta etapa es asumir los resultados de la estimación como ciertos sin someterlos al juicio de la duda y el sentido común.

    A partir de la integración de los distintos parámetros estimados en cada una de las celdas del modelo de bloque se calcula el tonelaje, ley media  y cantidad de metal en todo el depósito y se generan los reportes de recurso.

    6 Consideraciones finales

    Hasta aquí hemos discutido de forma crítica  los principales métodos de estimación de recursos desde los geométricos o tradicionales hasta los más modernos que se apoyan en el empleo de ordenadores. Se presentaron los principales criterios empleados para la categorización de reservas y los esfuerzos por lograr un sistema internacional de clasificación de recursos y reservas que sea reconocido por todas las partes involucradas en la actividad. Se discutió la filosofía general de trabajo de los métodos asistidos por computadora. 

    Por último se abordaron las principales bondades y deficiencias de los métodos geoestadísticos, así como las principales modificaciones realizadas al método de estimación inverso de la distancia, dirigidas a disminuir sus limitaciones y acercarlo lo más posible al interpolador kriging.

    Para finalizar este trabajo se enumeran las principales limitaciones de los métodos asistidos por computadoras y los errores más frecuentes que se cometen.

    1.    El principal problema muchas veces es no chequear los resultados y aceptar tácitamente las soluciones brindados por la computadora. Es muy fácil y rápido crear un modelo computarizado pero es necesario que este responda al modelo geológico del yacimiento y que respete los datos originales.

    2.    Muchas veces no es fácil combinar en un mismo modelo de recurso  zonas con distinto grado de conocimiento geológico

    3.    Empleo de bloques muy pequeños para la densidad de datos disponible y que falsean la variabilidad real de la ley en el yacimiento.

    4.    Demasiado suavisamiento de los datos producto al empleo de vecindades de búsqueda inapropiadas

    5.       Modelos de bloques de recursos construidos sin la participación del geólogo del proyecto que es quien conoce realmente los datos y comprende la geología del yacimiento

    6.       Datos insuficientes o inapropiados para modelar la naturaleza de la mineralización y su continuidad espacial. Lo que impide la obtención de variogramas confiables.

    7.       Insuficiente control geológico en la estimación

    8.       Incorrecta modelación del variograma.

    BibliografÍa

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    Autor:

    MSc. Elmidio Estévez Cruz

    estevez[arroba]geo.upr.edu.cu

    Departamento de Geología.

    Universidad de Pinar El Río.



    Artículo original: Monografías.com

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