Deducción completa ecuaciones de la curva, flecha, tensión y longitud de un cable parabólico con

    RESUMEN

    Se lleva a cabo la deducción paso a paso (en el texto consultado no se lleva a cabo así) del cálculo de la curva, flecha, tensión y longitud de un cable parabólico (el cual según se demuestra forma una parábola con el eje vertical), que soporta una carga uniformemente repartida sobre su proyección horizontal, como es el caso del cable de un puente colgante, y cables muy tirantes, con su flecha muy pequeña en comparación con su luz, como, los de las líneas eléctricas. Esta explicación es útil en la impartición de materias tales como: Estática, Diseño Mecánico, Instalaciones Mecánicas y Líneas de Transmisión, de la carrera de Ingeniero Mecánico electricista.

    DESARROLLO DEL TEMA

    Consideremos un cable que está suspendido entre dos puntos y soporta una carga que está uniformemente repartida sobre la proyección horizontal de la curva funicular (según se ve en la figura siguiente), este cable adopta la forma de una parábola. Deduciremos las ecuaciones que nos dan la curva, la flecha, la tensión en los puntos de apoyo y la longitud del cable parabólico, considerando que los puntos de los que está suspendido el mismo se, se hallan en el mismo plano horizontal.

    El cable de un puente colgante es un ejemplo de un cable que soporta una carga que muy aproximadamente está uniformemente repartida en la dirección horizontal, ya que el peso del tablero está uniformemente repartido en esa dirección, y los pesos del cable y tirantes son pequeños en comparación con el de aquel; y por lo tanto pueden despreciarse. Otro ejemplo es el de un cable muy tirante (esto es un cable en el que la flecha es pequeña en comparación con la, luz) que no soporta una carga mas que la de su propio peso; como por ejemplo el cable de una línea eléctrica de transmisión, un alambre de telégrafo, etc.

    En este caso la carga soportada por el cable (su peso) está repartida uniformemente a lo largo de la curva asumida por el cable, pero, puesto que la flecha (f) es pequeña, la proyección horizontal de un arco de curva es aproximadamente igual a la longitud del arco y, por consiguiente la carga está con bastante aproximación uniformemente repartida en la dirección horizontal.

    Para resolver los problemas en que intervienen cables de esta naturaleza, se utiliza la ecuación de la curva asumida por el cable (la parábola) y las ecuaciones que expresan las relaciones entre la luz (a), la flecha (f), la longitud del cable (l), la tensión (T), etc. Con objeto de determinar la ecuación de la parábola consideramos una parte AB del cable como un cuerpo libre (figura b). Tomaremos como origen de coordenadas el punto más bajo del cable A, y la tensión en este punto la designaremos por H. La tensión en un punto cualquiera B la designaremos por T. Esto supuesto, la porción de cable AB está en equilibrio bajo la acción de las tres fuerzas H, T y la carga vertical wx que actúa en el punto medio D de la entre A y C. Puesto que esas tres fuerzas están en equilibrio tienen que ser concurrentes y, por consiguiente, la línea de acción de T pasa por D. Las ecuaciones de equilibrio son:

    ∑FX = T cos α - H = 0, ……………... (1)

    ∑Fy = T sen α - wx = 0… ……………(2)

    Eliminando T en (1) y (2) tenemos:

    De (1)  T= …..(3)

    De (2)  T=…..(4)

    Igualando (3) y (4)

    =

    Tan α = …..(5)

    Pero de la figura    Tan α =

    Tan α =………(6)

    Luego, igualando 5 y 6

    =

    y = …..(7)   ECUACIÓN DE LA CURVA

    La curva es, pues, una parábola con el vértice en A y eje vertical.

    Eliminando α de (1) y (2), tenemos

    De  1) T Cos α = H                                           T2 Cos2α = H2 …..8)




    De  2) T Sen α = wx                                          T2  Sen2α = w2x2….9)

    Sumando 8) y 9) tenemos

    T2Cos2 +  T2Sen2α = H2+w2x2

    T2(Sen2α+Cos2d) = H2+w2x2

    T=  …….(10)

    Al aplicar las ecuaciones que antecedente lo que nos interesa es la tensión en el punto de apoyo, por ser en este punto donde la tensión es máxima. Por consiguiente, si designamos por a  la luz y por f el valor máximo de y (esto es, la flecha) de las ecuaciones (3) y (4) se deduce:

    Sustituyendo en (7)  x =  y y por f tenemos

    f =

    f = ………(11)

    En la ecuación 10, sustituyendo x por a/2 , la tensión en el punto de apoyo "T" será

    T=…….(12)   Tensión en el punto de apoyo

    Sustituyendo 11) en 12)

    T =

    T =

    T = ….. (13) Tensión máxima en función de datos fácilmente medibles en el campo como son "a" y "f"

    Determinaremos ahora la longitud del cable en función de la luz a y de la flecha f.

     La longitud de un arco de una curva cualquiera, se obtiene por medio de la ecuación.

    s =

    De la ecuación 7)

    y=

    =

    Por consiguiente, si designamos por "l" la longitud del cable, tenemos:

    l = 2

    La expresión exacta de l, obtenida de esta integral, contiene una función logarítmica la cual es de difícil aplicación. Puede obtenerse una expresión más sencilla desarrollando la expresión contenida bajo el signo integral, la cual es de la forma

    Para nuestro caso:

    =  

    = 1 + -  +…….

    Sustituyendo H4 =  y H2 =    En la expresión anterior tenemos:

    l: 2

    l: 2

    l: 2

    l: 2

    l: a +

    l: a +

    l: a

    La serie converge para valores de  menores de 0.5; en la mayoría de los casos, la relación es mucho más pequeña y solo es necesario calcular los dos primeros términos de la serie.

    BIBLIOGRAFIA

    Mecánica Analítica para Ingenieros, Seely Fred B., Ensign E. Newton, U.T.E.H.A

    Beer P. Ferdinand,  Johnston Russel E. Jr., Mecánica Vectorial para Ingenieros 2ª Edición, ESTÁTICA



     

     

    Autor:

    Julio César de J. Balanzá Chavarria

    rufus_41[arroba]hotmail.com

    Breve biografía del autor

    Julio César de J. Balanzá Chavarria es M.en C. en Diseño Mecánico por el I. P. N. habiendo cursado su licenciatura en Ingeniería Mecánica y Eléctrica en  la Facultad Nacional de Ingeniería de la U.N.A.M.. Es catedrático en el Instituto Tecnológico Superior de Poza Rica Veracruz y

    en la Universidad Veracruzana  de la misma ciudad, jubilado de Petróleos Mexicanos, en donde llegó a ser Jefe del Departamento de Equipo Dinámico e Instrumentos, habiéndose también desarrollado como instructor en el IMP. y en el CONALEP de la misma ciudad. Autor del libro "Resistencia de Materiales, teoría y problemas, editado por la Universidad Veracruzana.



    Artículo original: Monografías.com

    Mantente al día de todas las novedades

    Deducción completa ecuaciones de la curva, flecha, tensión y longitud de un cable parabólico con

    Indica tu email.
    Indica tu Provincia.
    Al presionar "Enviar" aceptas las políticas de protección de datos y privacidad de Plusformación.

    Escribir un comentario

    Deja tu comentario/valoración:

    El contenido de este campo se mantiene privado y no se mostrará públicamente.
    Si especificas la url de tu página o perfil de Google+, aparecerá el avatar que tengas en Google+
    Deja tu comentario y nosotros te informaremos
    CAPTCHA
    Esta pregunta se hace para comprobar que es usted una persona real e impedir el envío automatizado de mensajes basura.
    5 + 0 =
    Resuelva este simple problema matemático y escriba la solución; por ejemplo: Para 1+3, escriba 4.