Integración por sustitución trigonométrica

    En ocasiones de manera directa no se pueden realizar las integrales, en otras ocasiones parece ser que pudiéramos integrar de manera inmediata debido a que a primera inspección encontramos similitud con las formulas que tenemos en las tablas de formulas. Inclusive existen algunas de las mismas formulas que podemos deducir mediante algunas técnicas, como la que en esta ocasión nos ocupa, veamos el siguiente ejemplo:   Deduce la siguiente formula:

     

    Pensemos en una sustitución que podamos realizar en la integral de tal forma que nos permita una integración inmediata. Recordemos que:

    observemos que sucede si hacemos un cambio de variable que nos conduzca a el uso de esta sustitución, concretamente, sustituyamos

      

    Recordemos que a  lo también queda expresado como:

               

     de donde 

    donde la nueva c se ha juntado con la constante generada con el logaritmo: 

    al igual que esta integral se pueden encontrar de la misma forma algunas otras, vale la pena seguir la siguiente recomendación:

      

    hemos de aclarar que esas sustituciones surgen al igual que la sustitución del ejercicio anterior, de observación y comparación de las propiedades trigonométricas:

    Calcular la siguiente integral  y comprobar

       

    Solución:

    como podemos comprobar la integración no se puede realizar de manera inmediata. Antes de realizar alguna sustitución valdría la pena hacer alguna factorización en el radical

    realizando la sustitución

     

    por lo tanto: 

    como entonces:

      del triangulo rectángulo siguiente identificamos:

    la hipotenusa es 2x y el cateto adyacente es 3 por lo tanto el cateto opuesto es igual a:

    por lo que

     Comprobación del resultado.

    simplificando tenemos:

    Se sugieren los siguientes ejercicios:

    Sustitución trigonométrica

     A menudo es posible hallar la antiderivada de una función cuando el integrando presenta expresiones de la forma:

    MathType 5.0 Equation

    Se elimina el radical haciendo la sustitución trigonométrica pertinente; el resultado es un integrando que contiene funciones trigonométricas cuya integración nos es familiar. En la siguiente tabla se muestra cuál debe ser la sustitución:

    Expresión en el integrando

    Sustitución trigonométrica

    MathType 5.0 Equation

    MathType 5.0 Equation

    MathType 5.0 Equation

    MathType 5.0 Equation

    MathType 5.0 Equation

    MathType 5.0 Equation




     Ejercicios resueltos

    En los siguientes ejercicios, obtenga la integral indefinida:

    MathType 5.0 Equation

    MathType 5.0 Equation

    MathType 5.0 Equation

    Documento Microsoft Office Word

    Documento Microsoft Office Word

    MathType 5.0 Equation

    MathType 5.0 Equation

    S o l u c i o n e s

     MathType 5.0 Equation

    MathType 5.0 Equation

    MathType 5.0 Equation

    Imagen de mapa de bits

    Sustituyendo estos valores en (1), se obtiene:

    MathType 5.0 Equation

     MathType 5.0 Equation

    MathType 5.0 Equation

    MathType 5.0 Equation

    Imagen de mapa de bits

    (Fig.1)

    Sustituyendo estos valores en (1), se obtiene:

    MathType 5.0 Equation

     MathType 5.0 Equation

    MathType 5.0 Equation

     Documento Microsoft Office Word

    Documento Microsoft Office Word

    Imagen de mapa de bits

    Documento Microsoft Office Word

     Documento Microsoft Office Word

    Documento Microsoft Office Word

    Imagen de mapa de bits

    Documento de Microsoft Word

     MathType 5.0 Equation

    Documento Microsoft Office Word


    Integración por sustitución trigonométrica

    Las sustituciones que involucran funciones trigonométricas se pueden llevar a cabo en aquellas integrales cuyo integrando contiene una expresión de la forma:

    $\displaystyle {\sqrt{a^{2} - b^{2}x^{2}},\;\sqrt{a^{2} + b^{2}x^{2}}, \sqrt{b^{2}x^{2} - a^{2}}}$con $a > 0$y $b>0$

    La sustitución trigonométrica permite transformar una integral en otra que contiene funciones trigonométricas cuyo proceso de integración es más sencillo.

    Estudiaremos cada uno de los casos como sigue:

    A .        El integrando contiene una función de la forma $\displaystyle {\sqrt{a^{2} - b^{2}x^{2}}}$con $a>0\; , \;b>0$

    Se hace el cambio de variable escribiendo

    $\displaystyle {x =\frac{a}{b}\;sen\;\theta,}$donde $\theta \varepsilon \left]\frac{-\Pi}{2}, \frac{\Pi}{2}\right[\; y \;x\;\varepsilon \left]\frac{-a}{b}, \frac{a}{b}\right[$

    Si $\displaystyle {x =\frac{a}{b}\;sen\;\theta}$entonces $dx = \frac{a}{b}\;cos\;\theta\;d\theta$

    Además:

    $\displaystyle {=\sqrt{a^{2}(1-sen^{2}\theta)} = \sqrt{a^{2}\;cos^{2}\theta} = \vert a\;cos\;\theta\vert = a\;cos\;\theta,}$pues $a > 0$y como

    $\displaystyle {\theta \varepsilon \left]\frac{-\Pi}{2}, \frac{\Pi}{2}\right[}$entonces $cos\;\theta>0$por lo que $\vert a\;cos\;\theta\vert = a\;cos\;\theta$

    Luego: $\displaystyle {\sqrt{a^{2} - b^{2}x^{2}} = a\;cos\;\theta}$

    Como $\displaystyle {x =\frac{a}{b}\;sen\;\theta}$entonces $sen\;\theta = \frac{bx}{a} \; y\; \theta = arcsen\left(\frac{bx}{a}\right)$

    Para este caso, las otras funciones trigonométricas pueden obtenerse a partir de la figura siguiente:

    Ejemplos:

    1.

    $\displaystyle {\int \sqrt{16 - x^{2}}\;dx\; x \varepsilon ]-4,4[}$


    Sea $\displaystyle {x = 4\;sen\;\theta}$con $\displaystyle {\theta\; \varepsilon \left]\frac{-\Pi}{2}, \frac{\Pi}{2}\right[}$

    $\displaystyle {dx = 4\;cos\;\theta\; d \theta}$

    Luego: $\displaystyle {16-x^{2} = 16-16\;sen^{2}\theta = 16\;(1-sen^{2}\theta) = 16\;cos^{2}\theta}$

    $\displaystyle {\sqrt{16-x^{2}} = 4\;cos\;\theta}$

    Sustituyendo:

    $\displaystyle {\int \sqrt{16-x^{2}}\;dx = \int 4\;cos\;\theta \cdot 4\;cos\;\theta\;d\theta = 16\int cos^{2}\theta\;d\theta}$

    $\displaystyle {= 16\int \frac{1+cos\;2\theta}{2}\;d\theta = 8\int (1+cos\;2\theta)\;d\theta}$

    $\displaystyle {= 8\;(\theta + \frac{1}{2}\;sen\;\theta) + C}$

    $\displaystyle {= 8\theta + 4\cdot 2\;sen\;\theta\;cos\;\theta + C}$

    $\displaystyle {= 8\theta + 8\;sen\;\theta\;cos\;\theta + C}$

    Como $\displaystyle {x = 4\;sen\;\theta}$entonces $\displaystyle {sen\;\theta = \frac{x}{4}}$y $\displaystyle {\theta = arcsen\left(\frac{x}{4}\right)}$

    Además $\displaystyle {\sqrt{16-x^{2}} = 4\;cos\;\theta}$por lo que $\displaystyle {cos\;\theta = \frac{\sqrt{16-x^{2}}}{4}}$

    Estos resultados también pueden obtenerse a partir de la figura siguiente:

    Por último:

    $\displaystyle {\int \sqrt{16-x^{2}}\;dx = 8\;\theta + 8\;sen\;\theta\;cos\;\theta + C}$

    $\displaystyle {=8\;arcsen\left(\frac{x}{4}\right) + 8\cdot \frac{x}{4}\cdot \frac{\sqrt{16-x^{2}}}{4} + C}$

    $\displaystyle {\int \sqrt{16-x^{2}}\;dx = 8\;arcsen\left(\frac{x}{4}\right) + \frac{x\sqrt{16-x^{2}}}{2} + C}$

    2.

    $\displaystyle {\int \frac{dx}{x\sqrt{25-4x^{2}}},\; x \varepsilon \left]\frac{-5}{2},\frac{5}{2}\right[}$

    Sea $\displaystyle {x = \frac{5}{2}\;sen\;\theta,\; \theta\; \varepsilon \left]\frac{-\Pi}{2}, \frac{\Pi}{2}\right[}$

    $\displaystyle {dx = \frac{5}{2}\;cos\;\theta\;d\theta}$

    Luego $\displaystyle {25-4x^{2} = 25-4\cdot \frac{25}{4}\;sen^{2}\theta = 25-25\;sen^{2}\theta}$

    $\displaystyle {25-4x^{2} = 25(1-sen^{2}\theta) = 25\;cos^{2}\theta}$

    $\displaystyle {\sqrt{25-4x^{2}} = 5\;cos\;\theta}$

    Sustituyendo

    $\displaystyle {\int \frac{dx}{x\sqrt{25-4x^{2}}} = \int \frac{\frac{5}{2}\;cos\... ...sen\;\theta\cdot 5\;cos\;\theta} = \frac{1}{5}\int \frac{d\theta}{sen\;\theta}}$

    $\displaystyle {=\frac{1}{5}\int csc\;\theta\;d\theta}$

    $\displaystyle {=\frac{1}{5} \;ln\vert csc\;\theta - cot\;\theta\vert + C}$

    Como $\displaystyle {x = \frac{5}{2}\;sen\;\theta}$entonces $\displaystyle {sen\;\theta = \frac{2x}{5}}$por lo que puede utilizarse la siguiente figura para dar el resultado final:

    $\displaystyle {csc\;\theta = \frac{1}{sen\;\theta} = \frac{1}{\frac{2x}{5}} = \frac{5}{2x}}$

     

    Luego:

    $\displaystyle {\int \frac{dx}{x\sqrt{25-4x^{2}}} = \frac{1}{5}\;ln\left\vert\frac{5}{2x} - \frac{\sqrt{25-4x^{2}}}{2x} \right\vert + C }$

    3.

    $\displaystyle {\int \frac{x^{2}\;dx}{\sqrt{4-x^{2}}},\; x \varepsilon ]-2,2[}$

    Sea $\displaystyle {x = 2\;sen\;\theta\; \hspace{2cm} \theta\;\varepsilon \left]\frac{-\Pi}{2}, \frac{\Pi}{2}\right[}$

    $\displaystyle {dx = 2\;cos\;\theta\;d\theta}$

    Además: $\displaystyle {4-x^{2} = 4-4\;sen^{2}\theta = 4\;cos^{2}\theta}$

    $\displaystyle { \sqrt{4-x^{2}} = 2\;cos\;\theta}$

    Sustituyendo:

    $\displaystyle {\int \frac{x^{2}\;dx}{\sqrt{4-x^{2}}} = \int \frac{(2\;sen\;\theta)^{2}\;2\;cos\;\theta\;d\theta}{2\;cos\;\theta}= 4 \int sen^{2}\theta \;d\theta}$

    $\displaystyle {= 4\int \frac{1-cos\;2\theta}{2}\;d\theta = 2 \int (1 - cos\;2\theta)\;d\theta}$

    $\displaystyle {= 2\left(\theta - \frac{1}{2}\;sen\;2\theta\right) + C}$

    $\displaystyle {= 2\theta - 2\;sen\;\theta\;cos\;\theta + C}$

    $\displaystyle {= 2\;arcsen\left(\frac{x}{2}\right) - 2\;\cdot \frac{x}{2} \cdot \frac{\sqrt{4-x^{2}}}{2} + C}$

    $\displaystyle {= 2\;arcsen\left(\frac{x}{2}\right) - \frac{x\;(4-x^{2})}{2} + C}$

    4.

    $\displaystyle {\int \frac{dx}{(5-x^{2})^{\frac{3}{2}}},\; x \varepsilon ]-\sqrt{5},\sqrt{5}[}$

    Sea $\displaystyle {x = \sqrt{5}\;sen\;\theta\; \hspace{2cm} \theta\;\varepsilon \left]\frac{-\Pi}{2}, \frac{\Pi}{2}\right[}$

    $\displaystyle {dx = \sqrt{5}\;cos\;\theta\;d\theta}$

    Luego $\displaystyle {5-x^{2} = 5-5\;sen^{2}\theta = 5\;cos^{2}\theta}$

    $\displaystyle {(5-x^{2})^{\frac{3}{2}} = (5\;cos^{2}\theta)^{\frac{3}{2}} = \sqrt{(5\;cos^{2}\theta)^{3}}}$

    $\displaystyle {(\sqrt{5}\;cos\;\theta)^{3} = 5\;\sqrt{5}\;cos^{3}\theta}$

    Sustituyendo

    $\displaystyle {\int \frac{dx}{(5-x^{2})^{\frac{3}{2}}} = \int \frac{\sqrt{5}\;c... ...} \int \frac{d\theta}{cos^{2}\theta} = \frac{1}{5} \int sec^{2}\theta\;d\theta}$

    $\displaystyle {= \frac{1}{5}\;tan\;\theta + C}$

    $\displaystyle {= \frac{1}{5}\cdot \frac{x}{\sqrt{5-x^{2}}} + C}$

    pues $\displaystyle {sen\;\theta = \frac{x}{\sqrt{5}}}$y $\displaystyle {cos\;\theta = \frac{\sqrt{5-x^{2}}}{\sqrt{5}}}$

    También puede utilizarse:

    5.

    $\displaystyle {\int x^{2}\;\sqrt{25-x^{2}}\;dx}$  Ejercicio para el estudiante

    6.

    $\displaystyle {\int \frac{x^{2}}{(4-x)^{\frac{3}{2}}}\;dx}$        Ejercicio para el estudiante

    7.

    $\displaystyle {\int \frac{x^{3}\;dx}{\sqrt{16-x^{2}}}}$           Ejercicio para el estudiante

    B)             El integrando contiene una expresión de la forma $\displaystyle {\sqrt{a^{2} + b^{2}x^{2}}}$con $a>0\; , \;b>0$

    Hacemos un cambio de variable escribiendo $\displaystyle {x = \frac{a}{b}\;tan\;\theta,}$donde $\displaystyle {\theta\; \varepsilon \left]\frac{-\Pi}{2}, \frac{\Pi}{2}\right[}$y $x \varepsilon I\!\!R$

    Si $\displaystyle {x = \frac{a}{b}\;tan\;\theta}$entonces $\displaystyle {dx = \frac{a}{b}\;sec^{2}\theta\;d\theta}$

    Además $\displaystyle {\sqrt{a^{2} + b^{2}x^{2}} = \sqrt{a^{2} + b^{2} \cdot \frac{a^{2}}{b^{2}}\;tan^{2}\theta} = \sqrt{a^{2} + a^{2}\;tan^{2}\theta}}$

    $\displaystyle {\sqrt{a^{2} + b^{2}x^{2}} = \sqrt{a^{2}(1+tan^{2}\theta )} = \sqrt{a^{2}\;sec^{2}\theta} = \vert a\;sec\;\theta\vert}$

    Como ${a>0}$y $\displaystyle {\theta\; \varepsilon \left]\frac{-\Pi}{2}, \frac{\Pi}{2}\right[}$entonces $\displaystyle {sen\;\theta = \frac{1}{cos\;\theta}}$es positiva

    y por tanto $\displaystyle {\sqrt{a^{2} + b^{2}x^{2}} = a\;sec\;\theta}$

    Las otras funciones trigonométricas pueden obtenerse a partir de la siguiente figura:

             Ejemplos:

    1.

    $\displaystyle {\int \frac{dx}{\sqrt{4+x^{2}}}}$

    Sea $\displaystyle {x = 2\;tan\;\theta, \theta \varepsilon \left]\frac{-\Pi}{2}, \frac{\Pi}{2}\right[}$

    $\displaystyle {dx = 2\;sec^{2}\theta\;d\theta}$

    Luego: $\displaystyle {4+x^{2} = 4+4\;tan^{2}\theta = 4(1 + tan^{2}\theta)}$

    $\displaystyle {4+x^{2} = 4\;sec^{2}\theta }$

    $\displaystyle {\sqrt{4+x^{2}} = \sqrt{4\;sec^{2}\theta} = \vert 2\;sec\;\theta\vert = 2\;sec\;\Theta}$

    Sustituyendo

    $\displaystyle {\int \frac{dx}{\sqrt{4+x^{2}}} = \int \frac{2\;sec^{2}\theta\;d\theta}{2\;sec\;\theta} = \int sec\;\theta\;d\theta}$

    $\displaystyle {ln\;\vert sec\;\theta+ tan\;\theta\vert + C}$

    $\displaystyle {\int \frac{dx}{\sqrt{4+x^{2}}} = ln\left\vert \frac{\sqrt{4+x^{2}}}{2} + \frac{x}{2}\right\vert + C}$

    2.

    $\displaystyle {\int \frac{x^{2}\;dx}{\sqrt{x^{2}+6}}}$

    Sea $\displaystyle {x = \sqrt{6}\;tan\;\theta, \theta \varepsilon \left]\frac{-\Pi}{2}, \frac{\Pi}{2}\right[}$

    $\displaystyle {dx = \sqrt{6}\;sec^{2}\theta\;d\theta}$

    Luego: $\displaystyle {x^{2} + 6 = 6\;tan^{2}\theta + 6 = 6(tan^{2}\theta + 1) = 6\;sec^{2}\theta}$

    $\displaystyle {\sqrt{x^{2}+6} = \sqrt{6\;sec^{2}\theta} = \sqrt{6}\;sec\;\theta... ...heta>0 si \theta \varepsilon \left]\frac{-\Pi}{2}, \frac{\Pi}{2}\right[\right)}$

    Sustituyendo

    $\displaystyle {\int \frac{x^{2}}{\sqrt{^{2}+6}}\;dx = \int \frac{6\;tan^{2}\the... ...a\;d\theta}{\sqrt{6}\;sec\;\theta} = 6\int tan^{2}\theta\;sec\;\theta\;d\theta}$

    $\displaystyle {= 6 \int (sec^{2}\theta - 1)\;sec\;\theta\;d\theta = 6\int(sec^{3} - sec\;\theta)\;d\theta}$

    $\displaystyle {= 6 \left[\frac{1}{2}(sec\;\theta\;tan\;\theta) + ln\;\vert sec\... ...eta + tan\;\theta\vert\right] -6\;ln\;\vert sec\;\theta + tan\;\theta\vert + C}$

    $\displaystyle {= 3 sec\;\theta\;tan\;\theta - 3\;ln\;\vert sec\;\theta + tan\;\theta\vert + C}$

    $\displaystyle {= 3 \cdot \frac{\sqrt{x^{2}+6}}{\sqrt{6}}\cdot \frac{x}{\sqrt{6}... ...;\left\vert\frac{\sqrt{x^{2}+6}}{\sqrt{6}} + \frac{x}{\sqrt{6}}\right\vert + C}$

    $\displaystyle {= \frac{x\sqrt{x^{2}+6}}{2} - 3\;ln\;\left\vert\frac{\sqrt{x^{2}+6} + x}{\sqrt{6}}\right\vert + C}$

    3.

    $\displaystyle {\int \frac{x\;dx}{(9+4x^{2})^{\frac{3}{2}}}}$

    Sea $\displaystyle {x = \frac{3}{2}\;tan\;\theta, \theta \varepsilon \left]\frac{-\Pi}{2}, \frac{\Pi}{2}\right[}$

    $\displaystyle {dx = \frac{3}{2}\;sec^{2}\theta\;d\theta}$

    Luego $\displaystyle {9 + 4x^{2} = 9 + 4\cdot \frac{9}{4}\;tan^{2}\theta = 9 + 9\;tan^{2}\theta = 9(1 + tan^{2}\theta)}$

    $\displaystyle {9 + 4x^{2} = 9\;sec^{2}\theta}$

    $\displaystyle {(9 + 4x^{2})^{\frac{3}{2}} = (9\;sec^{2}\theta)^{\frac{3}{2}} = (9\;sec^{2}\theta)^{3}}$

    $\displaystyle {(9 + 4x^{2})^{\frac{3}{2}} = (3\;sec\;\theta)^{3} = 27\;sec^{3}\theta}$

    Sustituyendo

    $\displaystyle {\int \frac{x\;dx}{(9+4x^{2})^{\frac{3}{2}}} = \int \frac{\frac{3... ...}\theta}\;d\theta = \frac{1}{12} \int \frac{tan\;\theta\;d\theta}{sec\;\theta}}$

    $\displaystyle {= \frac{1}{12} \int \frac{\frac{sen\;\theta}{cos\;\theta}}{\frac... ...heta = \frac{1}{12} \int sen\;\theta\;d\theta = \frac{1}{12}(-cos\;\theta) + C}$

    Como

    $\displaystyle {tan\;\theta = \frac{2x}{3}}$de la sustitución inicial

    Por tanto:

    $\displaystyle {\int \frac{x\;dx}{(9+4x^{2})^{\frac{3}{2}}} = \frac{-1}{12} \cdot\frac{3}{\sqrt{9+4x^{2}}} + C}$

    $\displaystyle {= \frac{-1}{4\sqrt{9+4x^{2}}} + C }$

    4.

    $\displaystyle {\int \frac{dx}{x^{4}\sqrt{x^{2}+3}}}$

    Sea $\displaystyle {x = \sqrt{3}\;tan\;\theta, \theta \varepsilon \left]\frac{-\Pi}{2}, \frac{\Pi}{2}\right[}$

    $\displaystyle {dx = \sqrt{3}\;sec^{2}\theta\;d\theta}$

    Luego $\displaystyle {x^{2} + 3 = 3\;tan^{2}\theta + 3 = 3(tan^{2}\theta + 1) = 3\;sec^{2}\theta}$

    $\displaystyle {\sqrt{x^{2}+3} = \sqrt{3\;sec^{2}\theta} = \sqrt{3}\;sec\;\theta}$

    Sustituyendo

    $\displaystyle {\int \frac{dx}{x^{4}\sqrt{x^{2}+3}} = \int \frac{\sqrt{3}\;sec^{... ...{3}\;sec\;\theta} = \frac{1}{9}\int \frac{sec\;\theta\;d\theta}{tan^{4}\theta}}$

    $\displaystyle {= \frac{1}{9} \int \frac{cos^{4}\theta}{cos\;\theta\cdot sen^{4}\theta}\;d\theta = \frac{1}{9}\int \frac{cos^{3}\theta}{sen^{4}\theta}\;d\theta}$

    $\displaystyle {= \frac{1}{9} \int \frac{(1-sen^{2}\theta)cos\;\theta}{sen^{4}\t... ...n^{4}\theta}- \frac{sen^{2}\theta\;cos\;\theta}{sen^{4}\theta}\right)\;d\theta}$

    $\displaystyle {= \frac{1}{9} \int cos\;\theta(sen\;\theta)^{-4}\;d\theta - \frac{1}{9}\int cos\;\theta(sen\;\theta)^{-2}\;d\theta}$

    $\displaystyle {= \frac{1}{9}\;\frac{(sen\;\theta)^{-3}}{-3} - \frac{1}{9}\;\frac{(sen\;\theta)^{-1}}{-1} + C}$

    $\displaystyle {= \frac{-1}{27\;sen^{3}\theta} + \frac{csc\;\theta}{9} + C}$

    Como $\displaystyle {x = \sqrt{3}\;tan\;\theta}$entonces $\displaystyle {tan\;\theta = \frac{x}{3}}$

    Por lo que:

    se obtiene: $\displaystyle {sen\;\theta = \frac{x}{\sqrt{x^{2}+3}}, csc\;\theta = \frac{\sqrt{x^{2}+3}}{x}}$

    Por último:

    $\displaystyle {\int \frac{dx}{x^{4}\sqrt{x^{2}+3}} = \frac{-(\sqrt{x^{2} + 3})^{3}}{27\;x^{3}} + \frac{\sqrt{x^{2}+3}}{9x} + C}$

    5.

    $\displaystyle {\int \frac{\sqrt{4x^{2}+1}}{x}\;dx}$  Ejercicio para el estudiante

    6.

    $\displaystyle {\int \frac{x^{3}\;dx}{\sqrt{9+3x^{2}}}\;dx}$  Ejercicio para el estudiante

    c.

    El integrando contiene una expresión de la forma $\displaystyle {\sqrt{b^{2}x^{2}- a^{2}}}$con $a > 0$y $b>0$

    En este caso la sustitución adecuada es:

    $\displaystyle {x = \frac{a}{b}\;sec\;\theta,}$donde $\displaystyle {\theta \varepsilon \left]0, \frac{\pi}{2}\right[ \;U\;\left]\pi, \frac{3\pi}{2} \right[}$

    y $\displaystyle {x\; \varepsilon \left]-\infty, \frac{-a}{b}\right[ \bigcup \left]\frac{a}{b}, +\infty, \right[, o\; sea \vert x\vert>\frac{a}{b}}$

    Si $\displaystyle {x = \frac{a}{b}\;sec\;\theta}$entonces $\displaystyle {dx = \frac{a}{b}\;sec\;\theta\;tan\;\theta\;d\theta}$

    Además $\displaystyle {\sqrt{b^{2}x^{2}-a^{2}} = \sqrt{b^{2}\cdot \frac{a^{2}}{b^{2}}\cdot sec^{2}\theta -a^{2}} = \sqrt{a^{2}(sec^{2}\theta-1)}}$

    de donde $\displaystyle {\sqrt{b^{2}x^{2} - a^{2}} = \sqrt{a^{2}\;tan^{2}\theta} = \vert a\;tan\;\theta\vert = a\;tan\;\theta,}$

    pues $a > 0$y $tan\;\theta>0$para $\theta \varepsilon \left]0, \frac{\pi}{2}\right[ \bigcup \left]\pi, \frac{3\pi}{2}\right[$

    Como $\displaystyle {x = \frac{a}{b}\;sec\;\theta}$entonces $\displaystyle {sec\;\theta = \frac{bx}{a}}$por lo que $\displaystyle {\theta = arcsen\left(\frac{bx}{a}\right)}$

    Utilizando el siguiente triángulo puede obtenerse las otras funciones trigonométricas:

    Ejemplos:

    1.

    $\displaystyle {\int \frac{x\;dx}{\sqrt{x^{2}-9}}, \vert x\vert>3}$

     Sea $\displaystyle {x = 3\;sec\;\theta}$

    $\displaystyle {dx = 3\;sec\;\theta\;tan\;\theta\;d\theta, \theta \varepsilon \left]0, \frac{\pi}{2}\right[ \bigcup \left]\pi, \frac{3\pi}{2}\right[}$

    Luego $\displaystyle {x^{2}-9= 9\;sec^{2}\theta-9 = 9(sec^{2}\theta-1) = 9\;tan^{2}\theta}$

    $\displaystyle {\sqrt{x^{2}-9} = \sqrt{9\;tan^{2}\theta} = 3\;tan\;\theta}$

    Sustituyendo:

    $\displaystyle {\int \frac {x\;dx}{\sqrt{x^{2}-9}} = \int \frac{3\;sec\;\theta \cdot 3\;sec\;\theta\;tan\;\theta\;d\theta}{3\;tan\;\theta}}$

    $\displaystyle {= 3\int sec^{2}\theta\;d\theta = 3\;tan\;\theta + C = \sqrt{x^{2}-9}}$

    2.

    $\displaystyle {\int \frac{\sqrt{4x^{2}-1}}{x}\;dx, \vert x\vert>\frac{1}{4}}$

    Sea $\displaystyle {x = \frac{1}{2}\;sec\;\theta}$

    $\displaystyle {dx = \frac{1}{2}\;sec\;\theta\;tan\;\theta\;d\theta}$

    Luego $\displaystyle {4x^{2}-1= 4\cdot\frac{1}{4}\;sec^{2}\theta-1 = sec^{2}\theta-1 = tan^{2}\theta}$

    $\displaystyle {\sqrt{4x^{2}-1} = \sqrt{tan^{2}\theta} = tan\;\theta}$

    Sustituyendo:

    $\displaystyle {\int \frac{\sqrt{4x^{2}-1}}{x}\;dx = \int \frac{tan\;\theta\cdot \frac{1}{2}\;sec\;\theta\;tan\;\theta\;d\theta}{\frac{1}{2}\;sec\;\theta}}$

    $\displaystyle {= \int tan^{2}\theta\;d\theta = \int(sec^{2}\theta-1)\;d\theta}$

    $\displaystyle {= \int tan\;\theta - \theta + C = \sqrt{4x^{2}-1} - arcsec\;(2x) + C}$

    3.

    $\displaystyle {\int \frac{du}{u^{2}\sqrt{u^{2}-8}}, \vert u\vert>2\sqrt{2}}$

    Sea $\displaystyle {u = \sqrt{8}\;sec\;\theta}$

    $\displaystyle {du = \sqrt{8}\;sec\;\theta\;tan\;\theta\;d\theta}$

    Luego $\displaystyle {u^{2}-8= 8\;sec^{2}\theta-8 = 8(sec^{2}\theta-1) = 8\;tan^{2}\theta}$

    $\displaystyle {\sqrt{u^{2}-8} = \sqrt{8\;tan^{2}\theta} = \sqrt{8}\;tan\;\theta}$

    Sustituyendo:

    $\displaystyle {\int \frac{du}{u^{2}\sqrt{u^{2}-8}} = \int \frac{\sqrt{8}\;sec\;... ...2}\theta\;\sqrt{8}\;tan\;\theta} = \frac{1}{8}\int \frac{d\theta}{sec\;\theta}}$

    $\displaystyle {= \frac{1}{8}\int cos\;\theta\;d\theta = \frac{1}{8}\;sen\;\theta + C}$

    Como $\displaystyle {sec\;\theta = \frac{u}{\sqrt{8}}}$puede utilizarse la siguiente figura para determinar $sen\;\theta$

    Por último:

    $\displaystyle {\int \frac{du}{u^{2}\sqrt{u^{2}-8}} = \frac{1}{8}\;\frac{\sqrt{u^{2}-8}}{u} + C}$

    4.

    $\displaystyle {\int x^{3}\sqrt{4x^{2}-9}\;dx}$  Ejercicio para el estudiante

    5.

    $\displaystyle {\int \frac{\sqrt{y^{2} - 25}}{y^{4}}\;dy}$     Ejercicio para el estudiante

    Otras integrales en las que se utiliza alguna de las sustituciones trigonométricas que hemos estudiado, son aquellas que contienen una expresión de la forma $\displaystyle {(Ax^{2}+Bx+C)^{\frac{1}{2}}}$. En los siguientes ejemplos se ilustra el procedimiento a seguir:

              Ejemplos:

    1.

    $\displaystyle {\int \frac{dx}{\sqrt{x^{2}-6x+13}}}$

    Podemos escribir $x^{2}-6x+13$como $x^{2}-6x+9+4$o sea $(x-3)^{2} + 4$

    Luego $\displaystyle {\int \frac{dx}{\sqrt{(x-3)^{2}+4}}}$es la integral que debemos calcular

    Sea $\displaystyle {x - 3 = 2\;tan\;\theta, \theta \varepsilon \left]\frac{-\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right[}$

    $\displaystyle {dx = 2\;sec^{2}\theta\;d\theta}$

    Luego $\displaystyle {(x-3)^{2}+4= 4\;tan^{2}\theta + 4 = 4\;sec^{2}\theta}$

    $\displaystyle {\sqrt{(x-3)^{2}+4} = \sqrt{4\;sec^{2}\theta} = 2\;sec\;\theta}$

    Sustituyendo:

    $\displaystyle {\int \frac{dx}{\sqrt{(x-3)^{2}+4}} = \int \frac{2\;sec^{2}\theta\;d\theta}{2\;sec\;\theta} = \int sec\;\theta\;d\theta}$

    $\displaystyle {=\frac{1}{2}\;ln\;\vert sec\;\theta + tan\;\theta\vert + C}$

    $\displaystyle {=\frac{1}{2}\;ln\;\left\vert\frac{\sqrt{(x-3)^{2}+4}}{2} + \frac{x-3}{2}\right\vert + C}$

    $\displaystyle {=\frac{1}{2}\;ln\;\left\vert\frac{\sqrt{(x-3)^{2}+4} + (x-3)}{2}\right\vert + C, x\;\varepsilon I\!\!R}$

    2.

    $\displaystyle {\int \frac{x^{2}\;dx}{\sqrt{21+4x-x^{2}}}}$

    Se tiene que: $\displaystyle {21+4x-x^{2} = 21-(x^{2}-4x)}$

    $\displaystyle {= 21-(x^{2}-4x+4-4)}$

    $\displaystyle {= 21-(x-2)^{2}-4}$

    $\displaystyle {= 21-(x-2)^{2}+4 = 25-(x-2)^{2}}$

    Luego la integral se convierte en: $\displaystyle {\int \frac{x^{2}\;dx}{\sqrt{25 - (x-2)^{2}}}}$

    y se utiliza la sustitución $(x-2) = 5\;sen\;\theta$de donde: $x = 2 + 5\;sen\;\theta$

    $\displaystyle {dx = 5\;cos\;\theta\;d\theta}$

    Luego: $25-(x-2)^{2} = 25-25\;sen^{2}\theta = 25\;cos^{2}\theta$

    $\displaystyle {\sqrt{25-(x-2)^{2}} = 5\;cos\;\theta}$

    Sustituyendo:

    $\displaystyle {\int \frac{x^{2}\;dx}{\sqrt{25-(x-2)^{2}}} = \int \frac{(2+5\;sen\;\theta)^{2}\;5\;cos\;\theta\;d\theta}{5\;cos\;\theta}}$

    $\displaystyle {=\int (4+20\;sen\;\theta + 25\;sen^{2}\theta)\;d\theta}$

    $\displaystyle {=\int 4\;d\theta + 20\int sen\;\theta\;d\theta + 25\int \frac{1-cos\;2\theta}{2}\;d\theta}$

    $\displaystyle {=\int 4\;d\theta + 20\int sen\;\theta\;d\theta + \frac{25}{2}\int d\theta - \frac{25}{2}\int cos\;2\theta\;d\theta}$

    $\displaystyle {=4\;\theta - 20\;cos\;\theta + \frac{25}{2}\;\theta - \frac{25}{4}\;sen\;2\theta + C}$

    $\displaystyle {=\frac{33}{2}\;\theta - 20\;cos\;\theta + \frac{25}{2}\;sen\;\theta\;cos\;\theta + C}$

    $\displaystyle {=\frac{33}{2}\;arcsen\left(\frac{x-2}{5}\right) - 20\;\frac{\sqr... ...}}{5} + \frac{25}{2}\cdot \frac{x-2}{5}\cdot \frac{\sqrt{25-(x-2)^{2}}}{5} + C}$

    $\displaystyle {=\frac{33}{2}\;arcsen\left(\frac{x-2}{5}\right) - 4\sqrt{21+4x-x^{2}} + \frac{(x-2)\sqrt{21+4x-x^{2}}}{2} + C}$

    con $\vert x-2\vert<5$o sea $x \varepsilon ]-3,7[$

    3.

    $\displaystyle {\int \frac{2x\;dx}{\sqrt{x^{2}+4x+3}}}$

    Se tiene que $x^{2}+4x+3 = x^{2}+4x+4-1 = (x+2)^{2}-1$

    por lo que $\displaystyle {\int \frac{2x\;dx}{\sqrt{x^{2}+4x+3}} = \frac{2x\;dx}{\sqrt{(x+2)^{2}}-1}}$, con $\vert x+2\vert>1$

    sea $x+2 = sec\;\theta$de donde $x = sec\;\theta - 2$

    $dx = sec\;\theta\;tan\;\theta\;d\theta$

    Luego $(x+2)^{2} - 1 = sec^{2}\theta-1 = tan^{2}\theta$y $\sqrt{(x+2)^{2}-1 = tan\;\theta}$

    Sustituyendo

    $\displaystyle {\int \frac{2x\;dx}{\sqrt{(x+2)^{2}-1}} = \int \frac{2\;(sec\;\theta-2)\;sec\;\theta\;tan\;\theta\;d\theta}{tan\;\theta}}$

    $\displaystyle {= 2\int (sec^{2}\theta-2\;sec\;\theta)\;d\theta}$

    $\displaystyle {= 2\;tan\;\theta-4\;ln\;\vert sec\;\theta + tan\;\theta\vert + C}$

    $\displaystyle {= 2\sqrt{(x+2)^{2}-1}-4\;ln\;\vert x+2+\sqrt{x^{2}+4x+3}\vert + C}$

    4.

    $\displaystyle {\int \frac{(x+2)\;dx}{(3+2x-x^{2})^{\frac{3}{2}}}}$

    Se tiene que $3+2x-x^{2} = 4-(x-1)^{2}$(completando cuadrados)

    Luego la integral que se debe determinar es:

    $\displaystyle {\int \frac{(x+2)\;dx}{\left[4-(x-2)^{2}\right]^{\frac{3}{2}}}}$

    Sea $(x-1) = 2\;sen\;\theta$

    $x = 1+2\;sen\;\theta$

    $dx = 2\;cos\;\theta\;d\theta$

    Luego $4-(x-1)^{2} = 4-4\;sen^{2}\theta = 4(1-sen^{2}\theta) = 4\;cos^{2}\theta$

    $\left(\sqrt{4-(x-1)^{2}}\right)^{3} = \left(\sqrt{4\;cos^{2}\theta}\right)^{3} = (2\;cos\;\theta)^{3} = 8\;cos^{3}\theta$

    Sustituyendo

    $\displaystyle {\int \frac{(x+2)\;dx}{\left[4-(x-2)^{2}\right]^{\frac{3}{2}}} = \int \frac{(1+2\;sen\;\theta+2)\;2\;cos\;\theta\;d\theta}{8\;cos^{3}\theta}}$

    $\displaystyle {=\frac{1}{4} \int \frac{(3+2sen\;\theta)\;d\theta}{cos^{2}\theta... ...\frac{3}{cos^{2}\theta} + \frac{2\;sen\;\theta}{cos^{2}\theta}\right)\;d\theta}$

    $\displaystyle {=\frac{3}{4}\int sec^{2}\theta\;d\theta + \frac{1}{2}\cdot sen\;\theta\;(cos\;\theta)^{-2}\;d\theta}$

    $\displaystyle {=\frac{3}{4}\;tan\;\theta - \frac{1}{2}\cdot \frac{(cos\;\theta)^{-1}}{-1} + C}$

    $\displaystyle {=\frac{3}{4}\;tan\;\theta + \frac{1}{2\;cos\;\theta}+ C}$

    Como $\displaystyle {x-1 = 2\;sen\;\theta}$entonces $\displaystyle {sen\;\theta = \frac{x-1}{2}}$y utilizando que

    se obtiene finalmente que

     $\displaystyle {=\int \frac{(x+2)\;dx}{(3+2x-x^{2})^{\frac{3}{2}}} = \frac{3}{4}\cdot \frac{(x-1)}{\sqrt{4-(x-1)^{2}}} + \frac{1}{\sqrt{4-(x-1)^{2}}} + C,}$ con $x \varepsilon ]-1,3[$

    En cada caso determine el intervalo sobre el cual es válido el resultado.

       

    5.

    $\displaystyle {\int \frac{(2x-3)\;dx}{(x^{2}+2x-3)^{\frac{3}{2}}}}$  Ejercicio para el estudiante

    6.

    $\displaystyle {\int \frac{\sqrt{x^{2} + 2x}}{x+1}\;dx}$     Ejercicio para el estudiante

    7.

    $\displaystyle {\int \frac{sec^{2}x\;dx}{(4-tan^{2}x)^{\frac{3}{2}}}}$     Ejercicio para el estudiante

    8.

    $\displaystyle {\int \frac{e^{-x}\;dx}{(9\;e^{-2x}+1)^{\frac{3}{2}}}}$     Ejercicio para el estudiante

     

     

     

    Autor:

    Luis Teschi

    homib8_[arroba]hotmail.com



    Artículo original: Monografías.com

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    Integración por sustitución trigonométrica

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