Matemáticas en movimiento

    1. Introducción
    2. Función
    3. Combinación de funciones
    4. Funciones trigonométricas
    5. Límites
    6. Continuidad
    7. La recta tangente
    8. Movimiento rectilíneo
    9. La derivada
    10. Diferenciales
    11. Razones de cambio relacionadas
    12. Extremos de funciones
    13. Trazo de gráficas y la Primera Derivada
    14. Concavidad y el criterio de la Segunda Derivada
    15. Cálculo Integral
    16. Integral definida

    Introducción

    Esta página es un modesto intento por poner a la disposición de los estudiantes de habla hispana en todo el mundo un medio adicional para el aprendizaje de las matemáticas.

        La idea nació a principios de 1996 y se publicó en internet una primera versión en septiembre de ese año. En esta primera versión se cubrían los temas de cálculo diferencial e integral.

        Esta es una segunda versión en la que sea ha mejorado la presentación y se ha ampliado la cobertura del contenido, incluyendo ahora el cálculo de varias variables y algo de cálculo vectorial. En el transcurso de los próximos meses se irán agregando uno a uno los temas mencionados anteriormente y algunos sobre ecuaciones diferenciales.

        El contenido didáctico y matemático es obra del Dr. Sergio Terrazas, profesor de Física y Matemáticas en el Departamento de Ciencias Básicas del Instituto de Ingeniería y Tecnología de la Universidad Autónoma de Ciudad Juárez.

        Las gráficas y animaciones fueron elaboradas utilizando el paquete Mathematica, de Wolfram Research.

        El formato y organización de este trabajo fue hecha por Carlos Rubalcava Porras y Erick Lerma Sosa, estudiantes de Sistemas de Información en el Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey.

        Es nuestro deseo que esta página sirva de apoyo en el aprendizaje de las matemáticas a algún estudiante en cualquier parte del mundo donde se hable el español, y agradeceremos mucho que las personas que vean este trabajo nos hagan llegar sus comentarios y sugerencias a la siguiente dirección:  

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    En la vida diaria nos encontramos (a veces sin darnos cuenta) con la noción de correspondencia. Por ejemplo, a cada persona le corresponde una fecha de nacimiento, a cada libro le corresponde un número de páginas, a cada objeto le corresponde un peso, a cada rectángulo le corresponde un área, a cada número no negativo le corresponde su raíz cuadrada, etc.

        En cada uno de los ejemplos anteriores hay dos conjuntos D y C entre los que se dá la correspondencia.

        En el primer ejemplo el conjunto D es el conjunto de personas y el conjunto C es el conjunto de fechas (día, mes y año).

        En el segundo ejemplo el conjunto D es el conjunto de libros y el conjunto C es un número entero (el número de páginas).

        ¿Cuáles serían los conjuntos D y C para los otros tres ejemplos?

        Estas correspondencias se ilustran a menudo mediante diagramas como el que sigue:
     

    1.1.2 Definición de función

    Toda regla de correspondencia como los ejemplos anteriores es llamada relación

        Ciertos tipos especiales de reglas de correspondencia se llaman funciones

        La definición de función se dá enseguida.
       

    Función:

    Una función es una regla de correspondencia entre dos conjuntos de tal manera que a cada elemento del primer conjunto le corresponde uno y sólo un elemento del segundo conjunto.


     

    Al primer conjunto (el conjunto D) se le da el nombre de dominio. 

        Al segundo conjunto (el conjunto C) se le da el nombre de contradominio o imágen.

        Una función se puede concebir también como un aparato de cálculo. La entrada es el dominio, los cálculos que haga el aparato con la entrada son en sí la función y la salida sería el contradominio. 

        Esta forma de concebir la función facilita el encontrar su dominio.

        Notación: al número que "entra" a la máquina usualmente lo denotamos con una letra, digamos x o s, o cualquier otra. 

        Al número que "sale" de la máquina lo denotamos con el símbolo f(x) ó f(s).

        Ejemplo: f(x) = x2+ 3x - 6

        Esta función es una regla de correspondencia que dice lo siguiente: "A cada número en el dominio de f se le relaciona con el cuadrado de ese número mas el triple de ese número menos seis". 

        Otra manera de ver esto es escribiendo la función de la siguiente manera:

        f (  ) = (  )2 + 3(  ) - 6

        Enseguida se muestran los valores de f para varios valores de ( ). Es decir, se muestra la "salida" de la "máquina" para varios valores de la "entrada". 
     
     

    f(x) = x2 + 3x - 6 

    f(10) = 124 

    f(-2) = -8 
      
    f(h + 1) = (h + 1)2 + 3(h + 1) - 6 
      
    f(x + b) = (x + b)2 + 3(x + b) - 6 
      
    f() = ()2 + 3() - 6

     

        El dominio de una función puede ser especificado al momento de definir la función. 

        Por ejemplo, F(x) = 2x en el intervalo [-3,10] es una función cuyo dominio es el intervalo [-3,10]. A menudo no se especifica el dominio de una función definida por una ecuación, por ejemplo,

    G(x) = 3x3 - 2x + 10

    (Sin especificar el dominio)

    En adelante quedará entendido que: 

        A menos que se especifique explícitamente, el dominio de una función será el conjunto más grande de números reales para los cuales la función nos dé como salida un número real.

        Por ejemplo: 

     

     1

    f(x) = 

     

    x - 3

     

        Para esta función x = 3 no forma parte del dominio, ya que al ingresar dicho valor en la función obtendríamos un diagnóstico de error pues no se puede dividir entre cero. Observa además que la función no puede tomar el valor cero. ¿Porqué? Observa la gráfica.

    1.1.3 Ejemplos de funciones y sus gráficas

    La gráfica de una función

    La gráfica de una función es el conjunto de puntos en el plano de la forma (x,y) en donde x está en el dominio de la función y además y=f(x).

     

        A continuación discutiremos algunos tipos importantes de funciones y observaremos sus gráficas. Pon atención a la forma que tienen las gráficas de estas funciones. Todos los ejemplos son de funciones algebráicas, discutiremos otros tipos de funciones, como las funciones trigonométricas, más adelante. Por lo pronto, observa las siguientes funciones y sus gráficas.

    Función constante: f(x)=k, donde k es alguna constante

     

     

        ¿Qué tienen en común todas las gráficas? ¿En qué difieren?
     

    Función lineal: f(x) = ax + b

     

        ¿Qué tienen en común todas las gráficas? ¿En qué difieren?

    Función cuadrática:
    f(x)= ax2 + bx + c = a(x - x0)2 + y0

    El punto rojo se llama vértice de la parábola.  

    ¿Cuáles son sus coordenadas?  

    ¿Cómo se relacionan las coordenadas del  vértice con los números en la forma  
    f(x)= a(x-x0)2 + y0?

    f(x)= x2 + 2 x + 1 = (x + 1)2

    El punto rojo se llama vértice de la parábola.  

    ¿Cuáles son sus coordenadas?  

    ¿Cómo se relacionan las coordenadas del  vértice con los números en la forma  
    f(x)= a(x-x0)2 + y0?

    f(x)= 2 x2 + x = (x + 1)2 - 1

    El punto rojo se llama vértice de la parábola.  

    ¿Cuáles son sus coordenadas?  

    ¿Cómo se relacionan las coordenadas del  vértice con los números en la forma  
    f(x)= a(x-x0)2 + y0?

    f(x)= 2 x - x2  = 1 - (x - 1)2

    El punto rojo se llama vértice de la parábola.  

    ¿Cuáles son sus coordenadas?  

    ¿Cómo se relacionan las coordenadas del  vértice con los números en la forma  
    f(x)= a(x-x0)2 + y0? 

    ¿Qué significancia tienen los números a, x0, y0 para la gráfica de la función 
    f(x)= a(x-x0)2 + y0?

     

     

     

     


    Función polinomial

     

    P(x) = x3 - 3x2 + 2x - 7


    Función racional

    Una función racional es un cociente de dos polinomios, f(x) = P(x) / Q(x)
     

    x + 4

    f(x) = 

    x2 - 16

     
      ¿Qué sucede en los valores de x en los que el denominador es igual a cero?

    Función potencia: f(x)= k xn

    En donde k es cualquier constante real y n es un número real.

        Por lo pronto nos restringiremos a exponentes racionales. Funciones como xPi serán discutidas más tarde. El dominio de una función potencia depende del exponente n.
     

     

    f(x)= x-1

     

     

    f(x)= x1/3

     

     

    f(x)= x1/2

     

     

    f(x)= x2/3

     

     

     

    Función definida por secciones

    No es necesario que una función esté definida por una sola fórmula. La regla de correspondencia puede depender de qué parte del dominio proviene la variable independiente.

        En las siguientes dos gráficas veremos dos ejemplos de funciones definidas por secciones.

     


    1.1.4 Intersecciones

      

    Si la gráfica de la función y=f(x) corta al eje vertical, entonces su "intersección y" es el número f(0). Si la gráfica corta al eje horizontal, entonces las "intercepciones x" son los números reales x para los cuales f(x)=0. A estos números se les llama también "ceros" de la función f.

     

    Observemos algunos ejemplos:
       

    ¿Cuáles son las intercepciones x

    ¿Cuál es la intersección y

     

    f(x) = x3 - x

    ¿Cuáles son las intercepciones x

    ¿Cuál es la intersección y?

     

    f(x)= (x - 3)(x - 1)(x + 1)

    1.1.5 Simetría

    La gráfica de una función puede ser simétrica con respecto al eje "y" (función par), simétrica con respecto al origen (función impar) o sin simetría.
       

    • A f(x) se le llama función par si la gráfica de y=f(x) es simétrica con respecto a "y", es decir, f(-x)=f(x)
    • A f(x) se le llama función impar si la gráfica de y=f(x) es simétrica con respecto al orígen, es decir, si f(-x)=-f(x)

     

        Veamos un ejemplo de una función par: P(x)= x4 - 3x2
     

    P(x) = x4 - 3x2

    P(-x) = x4 - 3x2

     

        Observa que las gráficas de f(x) y f(-x) son idénticas. Por lo tanto la función dada es par.
     
        Observa también los exponentes de x. ¿Qué relación pudes deducir entre los exponentes de la variable independiente y la paridad de la función? Pregúntale a tu profesor si no te es claro.

        Veamos ahora un ejemplo de una función impar: J(x)= -x3 + 5x
       

    J(-x) = x3 - 5 x 

    -J(x) = x3 - 5 x

     

        Como ya te diste cuenta, las gráficas de -J(x) y J(-x) son iguales. Es decir, J(-x)=-J(x) y por lo tanto, J(x) es una función impar.

    1.1.6 Ejercicios

     1) Determine el dominio de las siguientes funciones:

         a) f(x) =   + 

         b) f(x) = 

         c) g(x) = 

    2) Trace la gráfica de las siguientes funciones:

        a) f(x) = (x - 1)(x - 3)

        b) g(x) =        si x < 1

                 2 - x     si -12

                 x + 2     si x > 2

    3) Determine si la función es par, impar o ninguna de las dos:

        a) f(x) = x6 - x2 + 5

        b) f(x) = x3 - 1

        c) f(x) = |x| / x

    COMBINACIÓN DE FUNCIONES

    1.2.1 Introducción

    Así como los números pueden ser combinados de diferentes maneras, las funciones también pueden ser combinadas para formar nuevas funciones, a esto se le llama comúnmente álgebra de funciones o combinación de funciones.
     

    Sean f y g dos funciones, definimos:

    Suma: (f+g)(x)=f(x)+g(x)

    Diferencia: (f-g)(x)=f(x)-g(x)

    Producto: (fg)(x)=f(x)g(x)

    Cociente: (f/g)(x)=f(x)/g(x)

     

       El dominio de f + g, f - g y fg es la intersección del dominio de f con el dominio de g. El dominio de f / g es la intersección del dominio de f con el dominio de g sin los números para los que g(x) = 0.
        Ejemplo, considera las funciones f y g dadas a continuación:

    f(x)= 2x2 - 5

    g(x)= 3x + 4

        La suma, diferencia, producto y cociente de estas dos funciones están dados enseguida:
     

    1.2.2 Las gráficas de la suma, diferencia, producto y cociente de funciones

    Obtener la gráfica de la función suma es un proceso que se lleva a cabo a través de sumar alturas. Es decir el valor de f(x1) más el valor g(x1) dará el valor de (f + g)(x1). De igual forma con las operaciones diferencia, multiplicación y división, la gráfica se obtiene haciendo la operación correspondiente con alturas, tendrás que tener cuidado con la división cuando el denominador sea cero (x=-4/3 para este ejemplo).
     

    f(x)=2x2-5

    g(x)=3x+4

    (f+g)(x)= 2x2+3x-1 

    (f-g)(x)= 2x2-3x-9

    (f g)(x)= (3x+4) (2x2-5)

    1.2.3 Función compuesta

    Dos funciones f y g pueden combinarse para formar una función compuesta, de las siguientes maneras:
     

    (f o g) (x) = f( g(x) )

    (g o f ) (x) = g( f(x) )

     

        La función compuesta recibe también el nombre de función. Resulta obvio entender que los valores g(x) deberán estar en el dominio de f para (fog), y que los valores f(x) deberán estar en el dominio de g para (gof ).

        Utilizando las mismas funciones f y g de los ejemplos anteriores:

    f(x)=2x2-5

    g(x)=3x+4

     

    (fog)(x)= 2(3x2 + 4) - 5

        Observa también la siguiente composición y su gráfica.

    (gof)(x)= 3(2x2 - 5) + 4

    1.2.4 Traslación de coordenadas
    (gráficas desplazadas)

    Para una función f(x), las gráficas de f(x) + c, de f(x) - c, f(x+c) y de f(x-c) se obtienen desplazando la gráfica de f(x): c unidades hacia arriba, c unidades hacia abajo, c unidades a la izquierda y c unidades a la derecha respectivamente. Donde c es un número positivo. Si c es negativo, el desplazamiento es en la dirección contraria.

        A continuación, se muestra la gráfica de f(x) = x2 + 6 siendo desplazada hacia la derecha 5 unidades y hacia arriba 4 unidades. ¿Cuál será la expresión algebráica de la gráfica final?

        Observa la gráfica de h(x) = (x2 -5) + 10

        Esta gráfica se obtuvo desplazando la gráfica de f(x)= x2 + 6 cinco unidades a la derecha y cuatro hacia arriba.

    1.2.5 Ejercicios

    1) Encuentre f + g, f - g, fg y f/g:

        a) f(x) = 3x2,  g(x) = 4x3

        b) f(x) = x / (x + 1),  g(x) = 1 / x

    2) Dadas las siguientes funciones, encuentre las combinaciones que se piden y sus dominios:

    f(x) = ,  g(x) = 10

        a) f / g

        b) (f o g)(x)

        c)(g o f)(x)

    3) Halle f(g(0)), f(g(1/2)) y g(f(g(1))):

        a) f(x) = 2x - 2,  g(x) = x2 + 1

        b) f(x) = x2 + 1,  g(x) = 2x4 - 4x2 + 3

    FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

    .3.1 Las funciones seno y coseno

    Las funciones seno y coseno tienen dos interpretaciones:

    i) como las coordenadas (x,y) de un punto en un circulo unitario, o
    ii) como el cociente de las longitudes de los lados de un triángulo rectangulo:
     

     

        Las siguientes animaciones ilustran lo anterior.

    Recuerda que los ángulos se miden en grados o en radianes:
     

      radianes = 180 grados 
    1 radián = (180 / ) grados 
    1 grado = ( / 180) radianes

     

      A continuación, observa la función seno generada por la cordenada "y" del punto extremo del radio unitario de un círculo.

    1.3.2 Las otras funciones trigonométricas

    Las otras cuatro funciones trigonométricas se definen en términos de seno y coseno:
       

    1.3.3 Gráficas de las funciones trigonométricas

    A continuación te presentamos las gráficas de las seis funciones trigonométricas.
     

     
        Ejemplos :

        Enseguida se muestran las gráficas de las funciones f(x)=2sen x, g(x)= -2sen x. Observa las gráficas, compáralas y describe el resultado de tu comparación.
     

     

        Las técnicas del cuaderno anterior (desplazamiento de gráficas) también se aplican a funciones trigonométricas: la gráfica de y=sen[x-(Pi/2)] se obtuvo por medio de desplazamientos adecuados de y=sen(x).
     

    1.3.4 Algunas identidades trigonométricas

    Enseguida se muestra un listado de algunas identidades trigonométricas.  Estas identidades son muy útiles y deberás aprenderlas y memorizarlas. Hay muchas, muchas identidades, por lo tanto veremos las más importantes únicamente.
     

     sen(A+B) = cos(B) sen(A) + cos(A) sen(B) 
    cos(A+B) = cos(A) cos(B) - sen(A) sen(B) 
    sen(A-B) = cos(B) sen(A) - cos(A) sen(B) 
    cos(A-B) = cos(A) cos(B) + sen(A) sen(B) 

    1.3.5 Ejercicios

    1) Convierta de radianes a grados:

        a)/ 20

        b)-4/3

    2) Encuentre el valor de la cantidad dada:

        a) sen (-/6)

        b) tan (7/6)

        c) cos (5/2)

    3) Trace la gráfica de la función dada:

        a) Y = - cos x

        b) Y = 3 cos 2x

    LÍMITES

    1.4.1 Introducción

    El concepto de límite es un concepto central en el desarrollo y aplicaciones del cálculo.

        Este concepto involucra el entender el comportamiento de una función cuando la variable independiente está "muy cerca" de un número "a" pero sin llegar a tomar ese valor.

     

     

    1.4.2 Noción intuitiva de límite

    Como se dijo en la introducción, investigaremos el comportamiento de una función f(x) cuando los valores de la variable independiente (en este caso x) estén muy cerca de un número especificado que llamaremos "a". Haremos esto tabulando los valores de la función para valores de x cada vez más cercanos al número a.

        Como primer ejemplo, sugerimos una función sencilla como:  f(x)= x2 con a=2.
     

    Por la izquierda

    Por la derecha

    x

    f(x)

    x

    f(x)

    1.75

    3.06

    2.25

    5.06

    1.94

    3.76

    2.06

    4.24

    1.98

    3.92

    2.02

    4.08

    1.99

    3.96

    2.01

    4.04

    2.00

    4.00

    2.00

    4.00

     

      ¿Qué observas acerca de los valores de la función conforme x se acerca al número a por la izquierda (x<a) y por la derecha (x>a)?

        ¿Se acercan los valores de la función a algún número en particular (uno sólo)?

        Si la respuesta es afirmativa decimos que ese número al que se acerca la función, llamémosle L, es el "Límite de f(x) cuando x tiende al número a". Si la respuesta es negativa, decimos que el "Límite de f no existe cuando x tiende al número a".

        Observación importante: En ningún momento nos interesamos por el valor de f(x) cuando x=a, es decir, el número f(a). Lo único que nos interesa son los valores de la función cuando x está "muy cerca" de a pero x es diferente de a.

        Como podrás haber observado en el ejemplo anterior, el límite de la función si existe y es el siguiente:
        El límite de f(x)= x2  cuando x2  es L = 4

        ¿Coincidió tu respuesta a la última pregunta con el número dado arriba?
       

    Definición Intuitiva de Límite

    Si los valores de f(x) pueden hacerse arbitrariamente cercanos a un número (único) L, cuando x se acerca a un número a por ambos lados, entonces decimos que "El Límite de f(x) es L cuando x tiende a a, y escribimos esto de la siguiente manera:

    Lim f(x) = L  
    x

    1.4.3 Teoremas sobre límites

    A través de ejemplos estableceremos, sin demostración, algunos teoremas importantes que nos permitirán hacer el cálculo de límites de funciones a mano.

    Límite de una función constante

    Sea f(x)=k, donde k es una constante. A continuación se muestra el límite de f(x) cuando xa,
    para a=4.
     

    Por la izquierda

    Por la derecha

    x

    f(x)

    x

    f(x)

    3.75

    k

    4.25

    k

    3.9375

    k

    4.0625

    k

    3.98437

    k

    4.01562

    k

    3.99609

    k

    4.00391

    k

    3.99902

    k

    4.00098

    k

     

        Habrás notado que independientemente del valor del número a y de la constante k, el límite es siempre k. Por lo tanto proponemos el siguiente teorema:
     

    Límite de f(x)=x cuando xa

    Sea f(x)=x. A continuación se muestra el límite de f(x) cuando xa, para a=4.
     

    Por la izquierda

    Por la derecha

    x

    f(x)

    x

    f(x)

    3.75

    3.75

    4.25

    4.25

    3.9375

    3.9375

    4.0625

    4.0625

    3.98437

    3.98437

    4.01562

    4.01562

    3.99609

    3.99609

    4.00391

    4.00391

    3.99902

    3.99902

    4.00098

    4.00098

     

      La tabla anterior sugiere el siguiente teorema:
     

    Límite de una función multiplicada por una constante

    Sea k una constante y f(x) una función cualquiera. En la siguiente tabla evaluaremos dos límites: en la columna izquierda evaluaremos Lim k f(x) y en la derecha evaluaremos k Lim f(x), ambos cuando x tiende a a=-1. En este ejemplo, k=2 y f(x)=3x-2.

        Compara los valores de las dos columnas.
     

    x

    [k f(x)]

    k [f(x)]

    -1.25

    -11.5

    -11.5

    -1.0625

    -10.375

    -10.375

    -1.01563

    -10.0937

    -10.0937

    -1.00391

    -10.0234

    -10.0234

    -1.00098

    -10.0059

    -10.0059

     

      Como habrás observado, los valores de las dos columnas son iguales. Entonces tenemos el siguiente teorema:
     

    Límite de una suma, diferencia, producto y cociente de funciones

    Sean f(x) y g(x) dos funciones cuyos límites existen cuando xa. En la siguiente tabla observaremos los valores de f, g, f+g, f-g, fg y f/g cuando x se acerca a un número a.

        En este ejemplo, f(x)=x2+1, g(x)=x+2, a=2
     

    f(x)

    g(x)

    f(x)+g(x)

    f(x)-g(x)

    f(x)g(x)

    f(x)/g(x)

    5.84

    4.2

    10.04

    1.64

    24.528

    1.39048

    5.0804

    4.02

    9.1004

    1.0604

    24.4232

    1.26378

    5.008

    4.002

    9.01

    1.006

    20.042

    1.25138

    5.0008

    4.0002

    9.001

    1.0006

    20.0042

    1.25014

    5.00008

    4.00002

    9.0001

    1.00006

    20.0004

    1.25001

     

        Observa bien la tabla. Relaciona los límites de f y g con los límites de f+g , f-g, fg y f/g. La tabla sugiere el siguiente teorema:
     

     



    Partes: 1, 2, 3, 4


    El límite de una potencia

    A continuación calcularemos valores de f(x)=xn para n entero positivo conforme xa. En la tabla, a=2 y n=3.
     

    x

    xn

    an

    1.75

    5.35937

    8.0

    1.9375

    7.27319

    8.0

    1.98437

    7.81396

    8.0

    1.99609

    7.95322

    8.0

    1.99902

    7.98829

    8.0

     

      El resultado anterior sugiere el siguiente teorema:
     

     
        Los teoremas 4 y 5 tienen como consecuencia los siguientes dos teoremas:
     

     


    Límite de una función que contiene un radical

    A continuación calcularemos valores de la raíz-n de x, es decir, x(1/n) conforme xa. Si a>0 entoces n puede ser cualquier entero positivo, pero si a<0, n debe ser un entero impar. En la tabla, a=3 y n=2.
     

    x

    x(1/n)

    a(1/n)

    2.75

    1.65831

    1.73205

    2.9375

    1.71391

    1.73205

    2.98437

    1.72753

    1.73205

    2.99609

    1.73092

    1.73205

    2.99902

    1.73177

    1.73205

     

    Lo anterior sugiere el próximo teorema.

    El límite de una función compuesta

    La inmensa mayoría de las funciones pueden ser vistas como composiciones de funciones más simples. Los teoremas que hemos "descubierto" se refieren a un pequeño grupo de funciones importantes.

        Trataremos de intuir las propiedades del límite de una función compuesta (fog )(x) = f[g(x)].

        En la próxima tabla, calcularemos valores de g(x) conforme xa, y los compararás con el número f(L), donde L=Lim g(x). En este ejemplo, f(x) = x1/2, g(x) = x2 + 4, y a = 3.
     

    x

    g(x)

    f[g(x)]

    f(L)

    2.75

    11.5625

    3.40037

    3.60555

    2.9375

    12.6289

    3.55372

    3.60555

    2.98437

    12.9065

    3.59256

    3.60555

    2.99609

    12.9766

    3.6023

    3.60555

    2.99902

    12.9941

    3.60474

    3.60555

     

      La tabla anterior pretende ilustrar que Lim f(g(x))=f(Lim g(x))=f(L). Lo anterior sugiere el siguiente teorema:

    1.4.4 La definición formal de límite

    En esta sección trataremos de ilustrar gráficamente el concepto de límite y su definición formal. Analiza la siguiente animación y observa que sucede con los valores f(x) cuando x se acerca a un número a.

     

        Observa en la animación anterior que cuanto más cerca está x del número a=1, los valores de la función están más cerca del número L=2. De manera equivalente, para que los valores de la función estén cada vez más cerca del número L=2, es necesario que los valores de x estén suficientemente cerca del número a=1.
       

    Definición formal de Límite:

    Lim f(x)=L,

    xa

    si para todo >0, existe un >0 tal que 


    |f(x)-L|< cuando |x-a|<.

    Límites que no existen

    A continuación damos dos ejemplos de un límite que no existe.

    Distinto comportamiento por la izquierda y por la derecha

    El primer ejemplo se trata de una función discontinua definida por secciones. Investigaremos el valor de Lim f(x) cuando x1. Observa la siguiente animación.
     

        Como viste, cuando x se acerca a 1, los valores de la función NO se acercan a un número. Cuando x se acerca a 1 por la izquierda, f(x)2, y cuando x se acerca a 1 por la derecha,
    f(x)3. Por eso decimos que:
     

    Lim f(x) NO EXISTE

    x1

     

    Comportamiento no acotado

    Investigaremos el límite de la función f(x)=1/x2 con la siguiente animación.

       

    Como habrás observado, conforme x se acerca a cero por ambos lados, los valores de la función crecen sin límite. Por lo tanto los valores de la función no se acercan a ningún número. Entonces, el límite no existe.

        Esperamos que las gráficas generadas anteriormente hayan ayudado a que comprendas el concepto importantísimo del límite de una función, y la definición formal de límite. Es muy importante que comprendas este concepto, por lo que te sugerimos que estudies este cuaderno por el tiempo que sea necesario.

    1.4.5 Ejercicios

    1) Trace la gráfica para encontrar el límite dado, si es que existe:

        a) 

        b)(|x| / x)

    2) Encuentre el límite dado si es que existe:

        a) 

        b) 

    3) Identifique las asíntotas verticales y las horizontales:

        a) 

        b) 

    CONTINUIDAD

    1.5.1 Introducción

    Se ha mencionado anteriormente la idea intuitiva de que una función continua es aquella cuya gráfica se puede trazar sin despegar "el lápiz". Es decir, si la gráfica es una sola línea "continua". En este cuaderno daremos una definición precisa de lo que es una "función continua".

        A continuación daremos ejemplos de funciones discontinuas en un punto y analizaremos qué es lo que causa la discontinuidad. Esto nos llevará de una manera directa a la definición de continuidad en un número y posteriormente a la definición de continuidad en un intervalo.

    1.5.2 Ejemplos

    Observa cuidadosamente las siguientes gráficas de funciones que son discontinuas en un número x=a.
       

    Observa como la función es discontinua en x=2, que no existe, y que f(2) no está definida.

    f(x)=(-2 + x)-2

     

    f(2)= Infinito

     

        Ahora observa la siguiente gráfica.
       

    El límite de f(x) cuando x1 por la izquierda es 2 

    El límite de f(x) cuando x1 por la derecha es 1 

    Por lo tanto el límite de f(x) cuando x1 no existe.

     

    f(1)=2

     

        Observa que en este caso la discontinuidad ocurre porque los límites unilaterales no son iguales (la función no tiende al mismo número por la derecha que por la izquierda), es decir, la función es discontinua por que el límite no existe.

        Veamos otro ejemplo:
       

    La función f(x) es discontinua en x=-2 y en x=2.  

    En x=-2 el límite no existe y f(-2) no está definida.  

    En x=2 el límite sí existe pero f(2) no está definida.

    La función ya simplificada es 

     

        Por último, observa la siguiente gráfica:
     
     

    Esta función es discontinua en x=4 aunque f(4) sí está definida y el límite sí existe. 

    La razón de la discontinuidad es que Lim f(x) cuando x4 no es igual a f(4).

    1.5.3 Definición de continuidad

    Enseguida se da la definición de continuidad en un número.
     

    1.5.4 Continuidad en un intervalo

     

    Continuidad en un intervalo abierto:

    Una función f es continua en un intervalo abierto (a,b) si lo es en todo número del intervalo.

     

        Veamos un ejemplo:

    Es claro de la gráfica, que la función es continua en el intervalo abierto (-1,1), pero no es continua en el intervalo cerrado [-1,1] porque f(-1) y f(1) no están definidas. 

     
     

     
     

        Veamos un ejemplo más:
     

    1.5.5 Teoremas sobre continuidad

    Los siguientes teoremas nos facilitarán la tarea de determinar la continuidad de una función.

     

    Teorema 10: Continuidad de una suma, un producto y un cociente.

    Si f y g son continuas en un número a, entonces cf (c es una constante), f+g, fg son continuas en a. Y si g(a) no es cero, entonces f/g es continua en a.

     

        La definición de continuidad implica que f(x)=x es continua en todo número x, y el teorema anterior nos dice que entonces x2, x3, ... , xn (n entero positivo) son funciones continuas en todo número x (xn es un producto de n funciones continuas y=x ).

        El teorema anterior también nos dice que una función polinomial es continua en (-,). 

        Consecuentemente, una función racional P(x)/Q(x) es continua en todo número real donde Q(x) no sea cero.
     

     

      En otras palabras, la composición de dos funciones continuas es también continua.
     

        Veamos un ejemplo de este teorema:

    f(x)=1+Cos(x) es continua en todo x y g(x)=Sen(x) también es continua en todo x. Por lo tanto, f[g(x)]=1+Cos[Sen(x)] es continua, y
     

    Lim f[g(x)]

     = 

    Lim {1+Cos[Sen(x)]}

     = 

    1+Cos[

    lim Sen(x)]

    xPi

     

    xPi

       

    xPi

             
     

     = 

    1+Cos[0]

     = 

    1+1 =

    2

    1.5.6 Ejercicios

    1) Determine, si los hay, los números en los que la función dada es discontinua:

        a) f(x) = (x2 - 9x + 18)-1

        b) 

    2) Determine si la función dada es continua en los intervalos indicados:

        a)  ,  (0, 4],  [1, 9]

        b) f(x) = tan x ,  [0, ],  [-]

    LA RECTA TANGENTE

    1.6.1 Introducción

    El concepto de la derivada se originó, en parte por el problema geométrico de encontrar la recta tangente a una curva dada en un punto cualquiera, y también en parte para describir el movimiento de una partícula.

        En este cuaderno estudiaremos el problema de la recta tangente.

    1.6.2 La recta tangente a una curva

    Como debes saber, para determinar la ecuación de una línea recta se necesita conocer dos puntos por los que pasa, o un punto y la pendiente.

        Aquí nos encontramos con un problema. Conocemos solo el punto de tangencia y la ecuación de la curva a la queremos encontrar la tangente.

        El problema parece no tener solución. Sin embargo, en lugar de darnos por vencidos, podemos por lo menos aproximar el valor de la pendiente de la siguiente manera:

    1. Escogemos un segundo punto sobre la curva (no muy lejos del punto de tangencia), y calculamos la pendiente de la recta secante que pasa por esos dos puntos.
    2. Si el punto de tangencia tiene abcisa a, entonces su ordenada es f(a), donde f(x) es la función que define a la curva.
    3. Entonces escogemos el segundo punto sobre la curva con abcisa a+h y ordenada f(a+h), donde h es un número que nosotros escogemos.

        Resumiendo: Dada la curva y=f(x) y el punto (a,f(a)), escogemos un segundo punto sobre la curva con coordenadas (a+h, f(a+h)) y calculamos la pendiente de la recta que pasa por ellos.
     

    f(a+h) - f(a)

    m = 

     

    h

        A continuación se ejemplificará lo anterior para una función dada, un punto de tangencia dado y varios valores del número h.

    1.6.3 Cálculos y gráficas

    Observa la siguiente gráfica.
     
     

     f (x) = x2

     

      A continuación, se muestra una animación que contiene una serie de gráficas mostrando la curva y las rectas secantes (por la izquierda y por la derecha) para valores de h cada vez mas pequeños. Se mostrarán dos rectas secantes: una para h y otra para -h.

        Observa el comportamiento de las rectas secantes conforme h0.

     

     

        ¿Qué observaste acerca de las rectas secantes cuando h0?

        A continuación se presentan tablas de valores de las pendientes de las rectas secantes como función del número h. Observa el valor de las pendientes conforme h se acerca a cero.
     

    f (x)= x2

     

    Pendiente

    h

    derecha

    izquierda

    0.01

    2.01

    1.99

    0.008

    2.008

    1.992

    0.006

    2.006

    1.994

    0.004

    2.004

    1.996

    0.002

    2.002

    1.998

    0.001

    2.001

    1.999

     

      Observa el valor de las pendientes de las rectas secantes (por la derecha y por la izquierda) conforme h0. ¿Qué observas? ¿Se acercan a un mismo número o no?

        En caso afirmativo, decimos que las secantes tienden al mismo límite.

        Esta observación es la base para definir la pendiente de la recta tangente a la curva y=f(x) en el punto (a,f(a)). Si las secantes no tienden al mismo límite, entonces la curva no tiene tangente en ese punto.
     
     

     

    Nota: La idea de que la recta tangente a una curva es aquella que la toca en un solo punto es errónea. La recta tangente puede tocar o cortar a la curva en mas de un punto. La definición anterior es la correcta.
     

    Ejemplo de una curva que no tiene tangente en un punto

     

    f (x) ={

    - x2+4,

    si  -1 <= x < 2

    x-2,

    si   2 <= x <= 5

     

     

     

      Observa el valor de las pendientes de las rectas secantes (por la derecha y por la izquierda) conforme h0. ¿Qué observas? ¿Se acercan a un mismo número o no? En caso afirmativo, la curva tiene tangente en ese punto. En caso negativo, decimos que la curva no tiene tangente en ese punto.

    Caso especial: tangentes verticales

    Como debes saber, una recta vertical no tiene una pendiente definida. Es decir, su pendiente no es un número real. (A veces se dice incorrectamente que su pendiente es infinita). Observa el siguiente ejemplo.
     

    f (x)= (-1+x)2/3

     

      Debe ser evidente que las dos rectas secantes se acercan a una recta vertical. En estos casos decimos que la curva tiene una tangente vertical en ese punto.

    1.6.4 Cálculo de la pendiente de la recta tangente

    Ahora calcularemos la pendiente de la recta tangente de una función en un punto dado, de acuerdo a la definición anterior.

        Sea f(x)=x2, entonces:
     

    f(a+h)-f(a)

     

    (h + 2)2 - 4

     

    h2 + 4h + 4 - 4

     

    m = 

     

     = 

     

     = 

     

     = 

    h + 4

    h

     

    h

     

    h 

       

     

        La expresión anterior es la pendiente de la recta secante para un valor dado de h.

        ¿Qué valores crees que vaya tomando la pendiente de la recta secante conforme h0?

        El límite de la expresión anterior cuando h0 es 4, por lo tanto:

    La pendiente por la izquierda es: 4

    La pendiente por la derecha es: 4

        Si los valores de las pendientes por la izquierda y por la derecha son iguales, este valor es, de acuerdo a la definición de recta tangente, la pendiente de la recta tangente a la curva dada en el punto dado.  Enseguida graficaremos la curva y la recta que tiene la pendiente anterior.

        Observa que en realidad es la recta tangente.

    1.6.5 Ejercicios

    1) Trace la gráfica de la función y de la recta tangente en el punto dado.  Obtenga la pendiente
        de la recta secante que pasa por los puntos que correpondan a los valores de x indicados: 

        a) f(x) = x3,  (-2, -8); x = -2, x = -1

        b) f(x) = sen x,  (,1);  x = ,  x = 

    2) Determine la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función dada, en el punto indicado:

        a) f(x) = x2;  (3, 9)

        b) f(x) = x3;  (1, f(1))

    3) Encuentre la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función dada, en el valor de x indicado:

            a) f(x) = 1 - x2;  x = 5

    MOVIMIENTO RECTILÍNEO

    1.7.1 Introducción

    El concepto de la derivada se originó en parte por el problema geométrico de encontrar la recta tangente a una curva dada en un punto cualquiera, y también en parte para describir el movimiento de una partícula.

        Acabamos de discutir cómo encontrar la recta tangente a una curva. En este cuaderno estudiaremos el movimiento rectilíneo.

    1.7.2 Movimiento rectilíneo

    Ahora estudiaremos el movimiento de una partícula que se mueve a lo largo de alguna línea recta. Escogemos un punto de referencia (llamado origen) para medir, a partir de este punto, la posición de la partícula.

        Supongamos que la posición de la partícula, que es una función del tiempo, la denotamos con la letra s(t). Entonces, sea s(t)=3 sen t una función que describe el movimiento de la partícula, la siguiente gráfica muestra la relación entre la posición y el tiempo en un intervalo de 0 a 5/2.

     

    Nota importante: la partícula no viaja a lo largo de la curva anterior. La partícula viaja en línea recta. La gráfica anterior describe como varía la posición como función del tiempo a lo largo de esa línea recta. La siguiente animación ilustra la relación entre el movimiento de la partícula y la gráfica de s(t). (El punto rojo es la partícula).

     

        Ahora, observa la siguiente animación para ver por sí solo el movimiento de la partícula.

        La posición de la partícula se calculará en intervalos de tiempo:
     

     

      

     t = 

     

    4

        Enseguida se calcula el cambio en la posición de la partícula en cada subintervalo de tiempo t (subintervalos iguales). Observa el cambio en la posición para cada subintervalo. ¿Varía esta cantidad de subintervalo a subintervalo? ¿Por qué?

    Interpretación de la tabla: El cambio en la posición que aparece en el renglón de un tiempo t es el cambio que ocurre entre ese tiempo y el próximo (t+t).

     

     

     

    Cambio en t

    Cambio en s

    0.0

    0.785

    2.12

    0.785

    1.57

    0.879

    1.57

    2.36

    -0.879

    2.36

    3.14

    -2.12

    3.14

    3.93

    -2.12

    3.93

    4.71

    -0.879

    4.71

    5.5

    0.879

    5.5

    6.28

    2.12

    6.28

    7.07

    2.12

    7.07

    7.85

    0.879

     

      El hecho de que en algunos intervalos de tiempo el cambio en la posición es mayor que en otros nos dá la idea intuitiva de que la partícula se está moviendo "más rápido" que en otros intervalos. Para poder cuantificar esa idea de "moverse mas rápido" definimos la siguiente cantidad:
     

     

        La próxima tabla nos muestra la velocidad promedio para cada intervalo de tiempo del ejemplo presente. La interpretación de la tabla es la misma que la anterior. Recuerda el mensaje dado arriba.

     

    Cambio en t

    Vel. promedio

    0.0

    0.785

    2.7

    0.785

    1.57

    1.12

    1.57

    2.36

    -1.12

    2.36

    3.14

    -2.7

    3.14

    3.93

    -2.7

    3.93

    4.71

    -1.12

    4.71

    5.5

    1.12

    5.5

    6.28

    2.7

    6.28

    7.07

    2.7

    7.07

    7.85

    1.12

     

      Observa que en algunos intervalos de tiempo la velocidad promedio es positiva y en otros es negativa. ¿Qué interpretación le puedes dar al signo algebráico de la velocidad promedio?



    Partes: 1, 2, 3, 4

    1.7.3 Velocidad instantánea

    Imagínate ahora la siguiente pregunta: ¿Cuál es la velocidad de la partícula cuando pasa por el punto s=2? (Por decir algo).

        La pregunta es equivalente a la siguiente: ¿Cuál es la velocidad de la partícula para el tiempo t o los tiempos t que corresponden a s=2?

        Puesto que para calcular la velocidad debemos medir el cambio en la posición durante un intervalo de tiempo y calcular la razón de cambio promedio (cociente del cambio en la posición entre el intervalo de tiempo), tenemos el mismo problema que con la recta tangente a una curva. Necesitamos dos puntos. Es decir, necesitamos conocer la posición para dos valores del tiempo y necesitamos calcular la velocidad promedio durante ese intervalo. Usaremos la misma estrategia que usamos para encontrar la pendiente de la recta tangente a una curva.

        Calcularemos las posiciones s(t) y s(t+t) y luego la velocidad promedio para ese intervalo de tiempo.
     

    s(t + t) - s(t)

    vprom = 

     

     

     

      En la siguiente animación se analiza para un valor del tiempo t = /2 el valor de la velocidad (Reduerda que s(t)=3 sen t). Observa que, numéricamente, el valor de la velocidad promedio es igual a la pendiente de la recta secante que pasa por los dos puntos de la curva de s(t).

        ¿Qué observaste acerca de las rectas secantes cuando t0?

        A continuación se generan tablas de valores de las velocidades promedio como función del número t. Observa el valor de las velocidades conforme t se acerca a cero.
     

    Velocidad promedio

    t

    derecha

    izquierda

    0.009

    -0.0134999

    0.0134999

    0.007

    -0.0105

    0.0105

    0.005

    -0.00749998

    0.00749998

    0.003

    -0.0045

    0.0045

    0.001

    -0.0015

    0.0015

     

      Observa el valor de las pendientes de las rectas secantes, o sea el valor de las velocidades promedio, (por la derecha y por la izquierda) conforme t0. ¿Qué observas? ¿Se acercan a un mismo número o no?

        Esta observación es la base para definir la velocidad instantánea de la partícula en el tiempo t.
     
     

     
    Observa un detalle muy importante: La definición anterior es idéntica en forma a la definición de la pendiente de la recta tangente a una curva. Esto sugiere que el concepto del límite en una expresión de la forma Lim [f(x+h)-f(x)]/h cuando h0 es un concepto importante. De hecho, es un concepto fundamental de las matemáticas. Es el concepto de la derivada.

    1.7.4 Ejercicios

    1) Un auto recorre las 290 millas entre los Ángeles y Las Vegas en 5 horas. ¿Cuál es su velocidad media?

    2) La posición de una partícula sobre una recta coordenada horizontal está determinada por:

    f(t) = -4t2 + 10t + 6.

         Encuentre la velocidad instantánea de la partícula cunado t = 3

    3) La altura sobre el suelo de una pelota que se deja caer desde una altura inicial de 122.5m está dada por s(t) = 122.5 - 4.9t2, en donde s se mide en metros y t en segundos.
        a) ¿Cuál es la velocidad instantánea cuando t = 1/2?
        b) ¿En qué instante choca la pelota contra el suelo?
        c) ¿Cuál es la velocidad de impacto?

    LA DERIVADA

    1.8.1 Introducción

    En el cuaderno de la recta tangente vimos que la pendiente de la recta tangente a la gráfica de y=f(x) en el punto (a,f(a)) está dada por:
     

    f(a+h) - f(a)

    m = 

    Lim 

    [

     

    ]

    h0

    h

     

      En el cuaderno de movimiento rectilíneo vimos que la velocidad instantánea de una partícula en movimiento rectilíneo está dada por:
     

    s(t + t) - s(t)

    v(t) = 

     Lim 

     [

     

    ]

     t0

     

     

      Que dos problemas tan diferentes nos hallan llevado a la evaluación de límites de la misma forma sugiere que dicho límite es una cantidad fundamental en las matemáticas. Como veremos en este y posteriores cuadernos, el límite...
     
     

       

    f(x+h) - f(x)

    Lim

     [

     

    ]

    h0

     

    h

     

     

    ...es una cantidad fundamental.

    1.8.2 Definición de la función derivada

     

    Ejemplos

        A continuación se calculará la derivada de varias funciones algebráicas a partir de la definición anterior.

     

    f(x) =3x2 + 5 x - 3 
     

    f(x+h) - f(x)

    3(x + h)2+5(x + h) -3-3x2-5x+3

     

     = 

     

    h

    h

    3x2+6xh+3h2+5x+5h -3x2-5x

     

     

    h

    6xh + 3h2 + 5h

     = 

     

    h

     = 

    6x + 3h + 5

       

    f '(x)

     = 

    Lim (6x + 3h + 5) =  6x + 5

       

    h0

     

        Ahora observa el siguiente ejemplo.
     
     

    1.8.3 Algunas derivadas básicas

    En esta sección obtendremos la derivada de algunas funciones básicas. Una vez que veamos cuáles son sus derivadas, utilizaremos los resultados obtenidos como reglas de derivación.

    La derivada de una función constante

     

    f(x) = c

    f(x+h) - f(x)

     

    (c - c)

       
     

     = 

     

     = 

    0

    h

    h

       
           

    f '(x) 

     = 

    Lim 0 

     = 

    0

       

    h0

       

     

    Teorema 12: Derivada de una constante.

    La derivada de una función constante es cero.

     

    La derivada de xn

     

     con n = 1

     

    f(x) = x

         

               

    f(x+h) - f(x)

    (x + h - x) 

     h 

     

     = 

     

     = 

     

     = 

    1

    h

    h

     h 

       
               

    f '(x)

     = 

    Lim 1

     = 

     1 

       
       

    h

           
               
     
               

    con n = 2

     

    f(x) = x2

           
               

    f(x+h) - f(x)

    (x+h)2 - x2

    x2+ 2xh + h2- x2

     

     = 

     

     = 

     

     = 

    2x+h

    h

    h

    h

       
               

    f '(x)

     = 

    Lim (2x + h)

     = 

    2x

       
       

    h0

           
               
     
               

     con n = 3

     

    f(x) = x3

           
             

    f(x+h) - f(x)

    (x+h)3 - x3

    x3+3x2h+3xh2+h3-x3

     

     = 

     

     = 

     

     = 

    3x2+3xh+h2

    h

    h

    h

     
               

    f '(x)

     = 

    Lim (3x2+3xh+h2)

     = 

    3x2

       
       

    h0

           
               
     
               

    con n = 4

     

    f(x) = x4

           
               

    f(x+h) - f(x)

    (x + h)4 - x4

     

     = 

     

     = 

     h3 + 4h2x + 6hx2 + 4x3

    h

    h

       

    f '(x) 

     = 

    Lim (h3 + 4h2x + 6hx2 + 4x3)

      = 

    4x3

       

    h0

     

       

     

      De acuerdo a lo que observaste, ¿cuál es la derivada de f(x) = xn? (Pista: fíjate bien en lo que le pasa al exponente y a los coeficientes)
     

    Teorema 13: Derivada de una potencia entera de x.

    Sea n entero positivo, entonces la derivada de la función:   

    xn  es  nxn-1

    1.8.4 Reglas de derivación

    A continuación te mostraremos algunos ejemplos para que notes cómo se van desarrollando las reglas de derivación.

    La derivada de una constante

    Según lo que hemos descubierto anteriormente la derivada de una constante es cero. Veamos un ejemplo.

    f(x) = 7

    f '(x) = 0

    La derivada de una potencia entera positiva

    Como ya sabemos, la derivada de xn es n xn-1, entonces:

    f(x)= x5

    f '(x)= 5x4

     

       Pero que sucede con funciones como f(x) = 7x5, aún no podemos derivar la función porque no sabemos cual es la regla para derivar ese tipo de expresiones.

    La derivada de una constante por una función.

    Para derivar una constante por una función, es decir cf(x), su derivada es la constante por la derivada de la función, o cf'(x), por ejemplo:
     

    f(x)= 3x5 
    f '(x)= 3(5x4) = 15x4 

     

    La derivada de una suma

    Tampoco podemos diferenciar (o derivar) una suma de funciones. La regla para la derivada de una suma es (f+g)'=f'+g', es decir, la derivada de una suma de funciones es la suma de las derivadas de cada uno de los términos por separado. Entonces:
     

    f(x)= 2x3 + x 
    f '(x)= 6x2 + 1

     

    La derivada de un producto

    Aún no hemos dicho cual es la regla para derivar un producto de funciones, la regla para la derivada de un producto es (fg)'= fg'+f'g. En español esto se interpreta como "la derivada de un producto de dos funciones es la primera, por la derivada de la segunda, más la segunda por la derivada de la primera".
     

    f(x)= (4x + 1)(10x2 - 5) 
    f '(x)= 20x(4x + 1) + 4(10x2 - 5)

     

    La derivada de un cociente

    Ahora daremos la regla para la derivada de un cociente.
     

     f 

    f 'g - fg'

    [

     

    ]' 

     = 

     

     g 

    g2

     

      Traducción: la derivada de un cociente de dos funciones es (la segunda, por la derivada de la primera, menos la primera por la derivada de la segunda) entre la segunda al cuadrado.
     

    4x + 1

    f(x)

     = 

     

    10x2 - 5

    4(10x2 - 5) - 20x(4x + 1)

    f '(x)

     = 

     

    (10x2 - 5)2

     

    Las derivadas de las funciones trigonométricas

    Ahora daremos las fórmulas para las derivadas de las funciones trigonométricas.
     

    f(x) = sen(x)

    f(x+h) - f(x)

    sen(h + x) - sen(x)

     

     = 

     

    h

    h

    cos(x)sen(h) + cos(h)sen(x) - sen(x)

     = 

     

    h

     
         
       

     cos(x)sen(h) + cos(h)sen(x) - sen(x)

     

    f '(x) =

    Lim[

     

    ] = cos(x)

     

    h0

    h

     

     

      Ahora daremos el resto de las fórmulas para las derivadas de las funciones trigonométricas.
     

    f(x)= sen(x)

    f '(x)= cos(x)

    f(x)= cos(x)

    f '(x)= -sen(x)

    f(x)= tan(x) = sen(x)/cos(x)

    f '(x)= sec2(x)

    f(x)= cot(x) = cos(x)/sen(x)

    f '(x)= -csc2(x)

    f(x)= sec(x)

    f '(x)= sec(x) tan(x)

    f(x)= csc(x)

    f '(x)= -[cot(x) csc(x)]

     

    La regla de la cadena

    Las reglas de derivación que hemos definido hasta ahora no permiten encontrar la derivada de una función compuesta como (3x + 5)4, a menos que desarrollemos el binomio y luego se apliquen las reglas ya conocidas. Observa el siguiente ejemplo.
     

    f(x)

     = 

    (3x + 5)2

     = 

    9x2 + 30 x + 25

    f '(x)

     = 

    18x + 30

     = 

    6(3x + 5)

           

    f(x)

     = 

    (3x + 5)3

     = 

    27x3 + 135x2 + 225x + 125

    f '(x)

     = 

    81 x2 + 270x + 225

     = 

    9(3x + 5)2

           

    f(x)

     = 

    (3x + 5)4 =

     81x4 + 540x3 + 1350x2 + 1500x + 625

    f '(x)

     = 

    324x3 + 1620x2 + 2700x + 1500 = 12(3x + 5)3

           

    f(x)

     = 

    (3x + 5)5

       
     

     = 

    243x5 + 2025x4  + 6750x3 + 11250x2 + 9375x + 3125

    f '(x)

     = 

    1215x4 + 8100x3 + 20250x2 + 22500x + 9375

     

     = 

    15 (3x + 5)4

       

     

        Observa que después de factorizar la derivada, en cada caso se obtiene la misma función pero con el exponente disminuido en 1, multiplicada por un factor que es igual al producto del exponente original por la derivada de la función base.
     

    Teorema 14: La derivada de una potencia entera de una función f.

    Sea y=[f (x)]n , entonces: 

    y'=n[f(x)](n-1) f '(x)

     

    Ejemplo:
     

    f(x)= (2x + 3)3   
    f '(x)= (3)(2x + 3)2(2) = 6(2x + 3)2

     

        Ahora que ya has visto cómo se van construyendo las reglas de derivación, veremos un último ejemplo.
     

    f(x)= 2x sen(3x) 
    f '(x)= 6x cos(3x) + 2 sen(3x)

    1.8.5 Ejercicios

    1) Use la definición de la derivada para la función dada:

        a) f(x) = 3x2

        b) 

    2) Determine la derivada de la función dada.  Obtenga una ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función en el valor de x indicado:

        a) f(x) = 4x2 + 7x;  x = -1

    3) Obtenga la razón de cambio instantánea de y = 1 / x2 con respecto a x.

    DIFERENCIALES

    1.9.1 Introducción

    Iniciamos el tema de la derivada con el problema de encontrar la pendiente de la recta tangente a la gráfica de y=f(x). Entonces llegamos a la definición de la derivada f'(x) y vimos que f'(a) es la pendiente de la recta tangente a la curva en x=a.

        Ahora analizaremos la siguiente situación:

        Dada una función y=f(x) y un valor inicial de x, digamos x0, encontramos la pendiente de la recta tangente en [x0,f(x0)], la cual está dada por m=f'(x0). La ecuación de esa recta tangente es y-f(x0)=m(x-x0).

        Supongamos que ahora ocurre un cambio en x, de x0 a x0+dx (dx es una cantidad). A ese nuevo valor de x corresponden dos valores de y, uno para la curva y=f(x) y otro para la recta tangente ya encontrada anteriormente.

        Hay dos cantidades de interés:

        (1) el cambio que ocurre en el valor de f (que llamaremos y).
        (2) el cambio que ocurre en el valor de y para la recta tangente (que llamaremos dy).

        De acuerdo con esto definiremos lo siguiente.
     

    1.9.2 Ilustración de diferenciales

    En las siguientes gráficas se calculan, para una función dada (x2) y un valor dado de x=x0, y varios valores del "cambio en x" o sea el número dx (o x), el cambio en el valor de f(x) (llamado y) y el valor de dy.
     
     

     x = 1.0

     y = 3.0

     x = 0.5

     y = 1.25

     y - dy = 1.0

     dy = 2.0

     y - dy = 0.25

     dy = 1.0

         

     x = 0.33

     y = 0.778

     x = 0.25

     y = 0.5625

     y - dy = 0.111

     dy = 0.667

     y - dy = 0.0625

     dy = 0.5

         

     x = 0.2

     y = 0.44

     x = 0.167

     y = 0.361

     y - dy = 0.04

     dy = 0.4

     y - dy = 0.0278 

     dy = 0.333

         

     x = 0.143

     y = 0.306

     x = 0.125

     y = 0.266

     y - dy = 0.02

     dy = 0.286

     y - dy = 0.016

     dy = 0.25

         

     x = 0.111

     y = 0.235

     x = 0.1

     y = 0.21

     y - dy = 0.012

     dy = 0.222

     y - dy = 0.01

     dy = 0.2

     

        Como habrás observado, conforme más pequeño es dx, más cercanos están los valores de y y dy, y ésta es una de las aplicaciones de las diferenciales: aproximar con dy el cambio real de una función (y).

        Para valores pequeños de dxy es aproximadamente igual a dy.

        Por lo tanto, y = f(x0+dx) - f(x0) aprox. igual a dy, de donde obtenemos que:

    f(x0+dx) = aproximadamente a f(x0) + dy

    1.9.3 Ejemplos del manejo de diferenciales

    Veamos algunos ejemplos del cálculo de diferenciales:
     

     

    Utilizando diferenciales para aproximaciones

    Consideremos la función f(x)=(1/ x)1/2 y dos valores de x, x0=100 y x1=96.

        Por lo considerado anteriormente tenemos que:
     

    1.9.4 Ejercicios

    1) Halle la diferencial dy:

        a) y = 12(x4 - 1)1/3

        b) y = xcosx - sen x

    2) Determine delta "y" y dy:

        a) y = x2 + 1

        b) y = sen x

    3) Utilice el conce  pto de diferencial para encontrar una aproximación a la expresión dada:

        a)

        b) 

     



    Partes: 1, 2, 3, 4

     

    RAZONES DE CAMBIO RELACIONADAS

    1.10.1 Razones de cambio relacionadas

    ¿Cuán rápido varía una cantidad? En general, una razón de cambio con respecto al tiempo es la respuesta a esta pregunta. La derivada dy/dx de una función y=f(x) es una razón de cambio instantánea con respecto a la variable x. Si la función representa posición o entonces la razón de cambio con respecto al tiempo se interpreta como velocidad.

        Si dos cantidades están relacionadas entre sí, entonces cuando una de ellas cambia con el tiempo, la otra cambiará también. Por lo tanto sus razones de cambio (con respecto al tiempo) están relacionadas entre sí. Por ello a este tipo de situaciones se les llama razones de cambio relacionadas.

        En este cuaderno examinaremos un par de ejemplos de este tipo de problemas.

    1.10.2 Ejemplos

    Ejemplo 1:

    Una persona de 1.80 metros de altura se aleja de un poste de alumbrado de 6 metros de altura con una velocidad de 1 m/s. ¿Con qué rapidez crece la sombra de la persona?

        Observa la siguiente animación. En ella observarás como cambia la sombra que una persona proyecta sobre el piso, cuando esa persona se aleja de la fuente luminosa.

        Como habrás observado, la longitud de la sombra depende de la de la persona al poste. Puesto que la x cambia con el tiempo, también la longitud de la sombra s cambia con el tiempo. La razón de cambio de la longitud de la sombra con respecto al tiempo, depende de la velocidad con la que la persona se aleja del poste. A esto le llamamos razones de cambio relacionadas. Enseguida, se muestran los cálculos necesarios para encontrar la razón de cambio de la sombra del ejemplo anterior.
     

     

        Los pasos ilustrados en el ejemplo anterior son típicos en la solución de un problema de razones de cambio relacionadas. Este procedimiento se resume en la siguiente lista.

        Te sugerimos seguir este procedimiento en la solución de este tipo de problemas.
     

    Los problemas de razones de cambio relacionadas se resuelven siguiendo los siguientes pasos:  

    1. Hacer una ilustración de la situación planteada.
    2. Identificar con símbolos las cantidades que varían en el tiempo.
    3. Identificar las razones que se conocen y la razón que se busca.
    4. Escribir una ecuación que relacione las variables.
    5. Derivar implícitamente con respecto al tiempo la ecuación obtenida en el paso 4.

     

    Ejemplo 2:

    Se inyecta aire a un globo esférico a razón de 20 pies cúbicos / min. ¿A qué razón varía el radio cuando éste mide 3 pies? La solución y una animación que ilustra el problema se muestran a continuación.

     

    1.10.3     Ejercicios de razones de cambio relacionadas

    1) Una placa en forma de triángulo equilátero se expande con el tiempo.  Cada lado aumenta a razón constante de 2 cm/h.  ¿Con qué rapidez crece el área cuando cada lado mide 8 cm?

    2) Un insecto va a lo largo de la gráfica de y = x2 + 4x + 1, en donde x y y se miden en centímetros.  Si la abscisa x varía a razón constante de 3cm/min, ¿Cuán rápido está variando la ordenada en el punto (2, 13)?

    3) Un abrevadero de 20 pie de largo tiene sus extremos verticales en forma de triángulos equiláteros.  Si se le bombea agua a razón constante de 4 pie3 / min, ¿con qué rapidez está subiendo el nivel de agua cuando está a 1 pie de altura sobre el fondo?

    EXTREMOS DE FUNCIONES

    1.11.1 Extremos absolutos

    En esta sección veremos el concepto de extremos de una función. Observa la gráfica de la función f(x)=1+x2 en el dominio [-3,5].
     

    f(x)= 1 + x2

     

      Como observarás la función f(x)=1+x2 en el dominio [-3,5] tiene dos valores que bien podríamos llamar extremos. Los puntos indican claramente que para ese dominio el valor mínimo de la función es 1 y el valor máximo es 26.

        ¿Existe un valor menor que 1 o uno mayor que 26 en el intervalo mostrado?

        Esta gráfica sugiere la posibilidad de que una función tenga un valor máximo y un mínimo en un intervalo cerrado.
     

    Definición de extremos absolutos:

    Sea f(x) una función definida en un intervalo I, los valores máximo y mínimo de f en I (si los hay) se llaman extremos de la función. 


     

    Se distinguen dos clases:

    • Un número f(c) es un máximo absoluto de f si f(x)f(c) para todo x en el intervalo I.
    • Un número f(c) es un mínimo absoluto de f si f(x)f(c) para todo x en el intervalo I.

     

        Los extremos absolutos también reciben el nombre de extremos globales.

    Teorema 15: Teorema de los valores extremos.

    Una función f(x) continua en un intervalo cerrado [a,b] siempre tiene máximo absoluto y un mínimo absoluto en el intervalo. 

     

      El teorema anterior nos asegura que en un intervalo cerrado, una función continua siempre tendrá un valor máximo y un valor mínimo. El teorema no dice nada si el intervalo es abierto.

     

     


    1.11.2 Extremos en la frontera

    Considera ahora la función f(x)=1+|cos(x)| en el dominio [/4,], la gráfica se muestra a continuación.
     

    f(x)=1+|cos(x)|

     

        Como ya te habrás dado cuenta, la función f(x)=1+|cos(x)| en el intervalo [/4,], tiene una máximo absoluto en x= y un mínimo absoluto en x=/2.

        El mínimo absoluto es y=1 y ocurre dentro del intervalo. El máximo absoluto es y=2 y ocurre en una frontera del intervalo.

        Cuando un extremo absoluto de una función ocurre en una de las fronteras de un intervalo I, como en el ejemplo anterior, se le da el nombre de extremo en la frontera

        Cuando I no es un intervalo cerrado, como (-3,6], entonces aún cuando f sea continua no hay garantía de que exista un extremo absoluto.

    1.11.3 Extremos relativos

    La función f(x)=x3 - x2 - 12x no tiene extremos absolutos en el intervalo abierto (-4,5), ¿por qué? Fíjate en la siguiente gráfica:
     

    f(x)= x3 - x2 -12x 

    f'(x)= 3x2 - 2x -12 

    Números críticos: {-1.69425, 2.36092}

     

        Si prestamos atención a los valores de la función para aquellas x's cercanas a (o en la vecindad de) x=c1 y x=c2 (los puntos azules de la gráfica), observarás que f(c1) es el valor máximo de la función en un intervalo (a1,b1) que contenga a c1 y f(c2) es el valor mínimo de la función en un intervalo (a2,b2) que contenga a c2.

        Estos puntos reciben el nombre de extremos relativos o locales, y se definen como sigue:
     

    Definición de extremo relativo: 

    • Un número y1=f(c1) es un máximo relativo de una función f, si f(x)f(c1) para toda x en algún intervalo abierto que contenga a c1.
    • Un número y1=f(c1) es un mínimo relativo de una función f, si f(x)f (c1) para toda x en algún intervalo abierto que contenga a c1.

     

       Como consecuencia de esta definición puede concluirse que todo extremo absoluto (excepto extremo en la frontera) es también un extremo relativo.

        Es muy importante que notes que los puntos en azul de la gráfica anterior no fueron obtenidos por medio de simple tabulación. (¿Cómo es la tangente a la gráfica en los extremos relativos?).

       Para encontrar los extremos relativos no es suficiente el graficar la función por medio de simple tabulación. Observa los puntos que marcan los extremos relativos de la siguiente gráfica.
     

     

      Examinando la gráfica anterior observarás que los extremos relativos de la función mostrada ocurren en valores de x en los que la curva no tiene tangente o en los que la tangente es horizontal (o vertical).

        Por lo tanto los valores de x en los que f'(x)=0 o f'(x) no existe, son importantes.
     

    Definición de valor crítico:

    Un valor crítico de una función f(x) es un número c en su dominio para el cual f'(c)=0 ó f'(c) no existe.

     

      Es importante notar que f(c) debe estar definida para que el número c sea un valor crítico. Enunciamos en seguida dos importantes teoremas.
     

    Teorema 16:

    Si una función f(x) tiene un extremo relativo en un número c, entonces c es un valor crítico.

     

    Nota importante : El teorema anterior NO dice que en todos los valores críticos habrá un extremo relativo.

        Observa la siguiente gráfica.
     

    f(x)= x3 + 1 

    f'(x)= 3x2 

    Números críticos: {0.0, 0.0}

     

      Como puedes observar, x=0 es un número crítico, pero f(0) no es un extremo relativo.
     

    Teorema 17:

    Si f(x) es continua en un intervalo cerrado [a,b], entonces un extremo absoluto ocurre en un punto frontera del intervalo o en un valor crítico en el intervalo abierto (a,b).  

    1.11.4 Obtención de los extremos absolutos

    El último teorema de la sección anterior puede resumirse de la siguiente manera:
     

    Para encontrar un extremo absoluto de una función f(x) continua en [a,b]:   

    1. Evaluar f en a y en b
    2. Determinar todos los valores críticos c1, c2, c3,..., cn en (a,b). 
    3. Evaluar f en todos los valores críticos. 
    4. El más grande y el más pequeño de los valores de la lista, f(a), f(b), f(c1), f(c2),..., f(cn) son el máximo absoluto y el mínimo absoluto, respectivamente, de f en el intervalo [a,b]. 

     

    Observaciones:

        a) Una función puede tomar sus valores máximo y mínimo más de una vez en un intervalo, pero el máximo absoluto es un sólo número y el mínimo absoluto es también un solo número.

        b) El recíproco del teorema 16 no es necesariamente cierto. Es decir un valor crítico de una función no siempre corresponde a un extremo relativo. (Como ya viste con f(x)=x3+1)

        Veamos otro ejemplo para ilustrar lo anterior.
     

     

      Como observarás la derivada de esta función muestra que x=1 es un valor crítico sin embargo esta función al igual que la anterior, no tiene extremo alguno.

    1.11.5 Ejercicios de Extremos de Funciones

    1.- Encuentre los valores críticos de la función dada:

        a) 

        b) f(x) = -x + senx

    2.- Encuentre los extremos absolutosde la función dada en el intervalo indicado:

        a) f(x) =  ; [-1, 8]

        b) f(x) = x3 - 6x2 + 2 ; [-3, 2]

    3.- Encuentre todos los valores críticos.  Distinga entre extremos absolutos, absolutos en la frontera y relativos:

        f(x) = x2 - 2|x| ; [-2, 3]

    TRAZO DE GRÁFICAS Y LA PRIMERA DERIVADA

    1.12.1 Introducción

    Como ya has visto, si una función tiene extremos relativos, éstos deben ocurrir en un valor crítico. Pero una función no necesariamente tiene un extremo relativo en todos sus valores críticos. El objetivo de este cuaderno es encontrar un criterio que nos permita decidir en qué valores críticos existen extremos relativos.

        Recuerda que los valores críticos de una función f(x) son números en el dominio de f(x) para los cuales f'(x)=0 o f'(x) no está definida. En esta sección encontraremos una forma de determinar cuando la función tiene un extremo relativo en un valor crítico c, a partir de la primera derivada.

    1.12.2 Criterio de la Primera Derivada

    Sea f(x) una función diferenciable en (a,b) y c un valor crítico tal que a<c<b. Sería conveniente poder determinar si f(c) es un máximo o un mínimo relativo de f(x), esto nos ayudaría a trazar la gráfica de f(x).

    Ejemplo: Gráfica de f(x) = x3 - 3x2 - 9x + 2

        Esta función es continua en todo su dominio. Vamos a analizar su gráfica y el comportamiento de su derivada en el intervalo -5<x<5. El objetivo es el de detectar los máximos y mínimos relativos y determinar algún criterio para encontrarlos utilizando la primera derivada. Observa la siguiente gráfica.
     

    f(x)= x3 - 3x2 - 9x2 + 2

    f'(x)= 3(x - 3)(x + 1)

    Números críticos: {-1.0, 3.0}

      f(-1.0)= 7.0

      f(3.0)= -25.0

     

      Como verás los extremos relativos de f(x) son f(-1) y f(3). En la siguiente animación observa el comportamiento de las rectas tangentes a la gráfica de f(x) al pasar por los puntos extremos relativos.

        Observa que en los intervalos en los que la función crece, la pendiente de la recta tangente tiene signo positivo, y cuando la función es decreciente, el signo de la pendiente es negativo.

        Como ya te habrás dado cuenta las pendientes cambian de signo en los valores críticos.

        Para verificar esto a continuación se muestra una tabla de valores de las pendientes de las rectas tangentes a la gráfica de f(x) para -5<x<5, observa el comportamiento de las pendientes.
     

    pendiente 

    -5.0 

    96.00 

    -4.5 

    78.75 

    -4.0 

    63.00 

    -3.5 

    48.75 

    -3.0 

    36.00 

    -2.5 

    24.75 

    -2.0 

    15.00 

    -1.5 

    6.75 

    -1.0 

    0.00 

    -0.5 

    -5.75 

    0.0 

    -9 

    0.5 

    -11.75 

    1.0 

    -12.00 

    1.5 

    -11.25 

    2.0 

    -9.00 

    2.5 

    -5.75 

    3.0 

    0.00 

    3.5 

    6.75 

    4.0 

    15.00 

    4.5 

    24.75 

    5.0 

    36.00 

     

      ¿Qué observas? ¿Hay cambios de signo? ¿Detectaste el máximo y mínimo relativos? ¿Cuándo se presentan?

        De acuerdo a lo que se observa en el ejemplo, parece razonable enunciar el siguiente teorema:
     
     

    Teorema 18: Criterio de la primera derivada para extremos relativos.

    Sea f(x) continua en [a,b] y diferenciable en (a,b), excepto posiblemente en el valor crítico c.   

    • Si f '(x)>0 para a<x<c y f '(x) < 0 para c<x<b entonces f(c) es un máximo relativo. 
    • Si f '(x)<0 para a<x<c y f '(x)>0 para c<x<b entonces f(c) es un mínimo relativo. 

    1.12.3 Otros ejemplos

    Observemos otros ejemplos.
     

     

        Si el signo de la derivada cambia al evaluarla sobre los intervalos (a,c) y (c,b) entonces f(c) es un máximo o mínimo relativo. ¿Cuáles son el máximo y mínimo relativos?

        Si la derivada no cambia de signo en el valor crítico c, entonces f(c) NO es un extremo relativo.

        Practica el encontrar los extremos relativos de varias funciones. Escoge entre las funciones dadas en los ejercicios de tu libro de texto hasta que sientas que entiendes el criterio de la primera derivada.

    Recuerda: La práctica hace al maestro.

    1.12.4 Ejercicios de Trazo de gráficas y la primera derivada

    1.- Utilice el criterio de la primera derivada para encontrar los extremos relativos de la función dada.  Trace la gráfica.  Encuentre las intersecciones con los ejes cuando sea posible:

        a) f(x) = x(x - 2)2

        b) 

        c) 

    CONCAVIDAD Y EL CRITERIO DE LA SEGUNDA DERIVADA

    1.13.1 Introducción

    Ya hemos visto que la localización de los intervalos en los que una función f crece o decrece es útil para hallar su gráfica.

        Recordemos que si f crece en un intervalo, entonces f'>0 en ese intervalo, y si f decrece entonces f'<0.

        En este cuaderno veremos que localizando los intervalos en los que la derivada f' crece o decrece, podemos determinar dónde la gráfica de f se curva hacia arriba o hacia abajo.

        La noción que discutiremos es la de concavidad.

    1.13.2 Definición de concavidad

    Observemos las siguientes gráficas (todas son acerca de la misma función, pero en diferentes intervalos).
     

    Esta gráfica es cóncava hacia abajo

    ¿Qué observas acerca de las pendientes de las rectas tangentes?  

    Ahora observa y compara la gráfica de esta función con la gráfica de su derivada.  
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     

     

     
     

    La siguiente gráfica es cóncava hacia arriba

    ¿Qué observas acerca de las pendientes de las rectas tangentes?  

    Ahora observa y compara la gráfica de esta función con la gráfica de su derivada.  
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     

     
     

     

     
        Como debes haber observado, cuando la función es cóncava hacia abajo, la derivada f' es una función decreciente y cuando la curva es cóncava hacia arriba la derivada es una función creciente.
     

    Definición de concavidad:

    Sea f diferenciable en un intervalo abierto. Diremos que la gráfica de f es cóncava hacia arriba si es creciente en ese intervalo y cóncava hacia abajo si es decreciente en ese intervalo.

     

        Por lo que sabemos de funciones crecientes y decrecientes, si f' es creciente en un intervalo, entonces su derivada f'' es positiva en ese intervalo y si f' es decreciente entonces su derivada f'' es negativa en ese intervalo. La siguiente gráfica muestra este concepto.
     

     
        Las anteriores observaciones nos llevan a postular el siguiente criterio sobre concavidad:
     

    Teorema 19: Criterio sobre concavidad.

    Sea f una función cuya segunda derivada existe en un intervalo abierto (a,b). 

    1. Si f''(x)>0 para toda x en (a,b), entonces la gráfica de f es cóncava hacia arriba en (a,b). 
    2. Si f''(x)<0 para toda x en (a,b) , entonces la gráfica de f es cóncava hacia abajo en (a,b). 

    1.13.3 Determinando la concavidad

    Para determinar la concavidad de la gráfica de una función, debemos determinar los intervalos en los que f''(x)<0 (concavidad hacia abajo) y en los que f''(x)>0 (concavidad hacia arriba). Se sugiere el siguiente procedimiento:
     

    1. Determinar los valores en los que f''(x)=0 o f''(x) no está definida.
    2. Determinar con esos valores unos intervalos de prueba.
    3. Determinar el signo de f''(x) en cada uno de esos intervalo de prueba.

     

        A continuación se muestran dos ejemplos para ilustrar este procedimiento.

    Ejemplo 1:
     

    135x + 40x3 - 3x5

    f''(x)=0 en x={-2, 0, 2}  

    f''(x)= existe para todos los reales  

    Los números que forman intervalos de prueba son: {-2, 0, 2}  

    Valores de prueba: {-2.1, -1.9, 0.1, 2.1}  

    Los valores de f''(x) en los valores de prueba son: {0.191333, -0.164667, 0.0886667, -0.191333} 

    f(x)= 

     

    270

     

    135 + 120x2 - 15x

    f'(x)=

     

    270

    2x(2-x)(2+x)

    f''(x)=

     

    9

    De lo anterior, podemos concluir que:  

    • La gráfica es cóncava hacia arriba de - a -2
    • La gráfica es cóncava hacia abajo entre x=-2 y x=0
    • La gráfica es cóncava hacia arriba entre x=0 y x=2
    • La gráfica es cóncava hacia abajo de 2

     

    Ejemplo 2:
     

    f''(x)=0 en x={}   

    f''(x) no existe en x={-1, 1}   

    Los números que forman intervalos de prueba son: {-1, 1}   

    Valores de prueba: {-1.1, -0.9, 1.1} 

    Los valores de f''(x) en los valores de prueba son: {1999.78, -2000.29, 1999.78}

     

    x2 + 1

     

    f(x)=

     

    x2 - 1

    2x

    2x(x2 + 1)

    f'(x)=

     

    -

     

    x2 - 1

    (x2 - 1)2

    4(1 + 3x2)

    f''(x)=

     

    (x + 1)3(x -1)3

     

    De lo anterior, podemos concluir que: 

    • La gráfica es cóncava hacia arriba de - a -1
    • La gráfica es cóncava hacia abajo entre x=-1 y x=1
    • La gráfica es cóncava hacia arriba de 1.

    1.13.4 Puntos de inflexión

    Un punto de la gráfica de una función en donde hay un cambio en la concavidad de la gráfica se llama punto de inflexión.
     

    Definición de punto de inflexión:

    Sea f continua en c. Un punto (c,f(c)) es un punto  de inflexión si existe un intervalo abierto (a,b) que contiene a c, de tal manera que la gráfica de f es,

    • cóncava hacia arriba en (a,c) y cóncava hacia abajo en (c,b) , o
    • cóncava hacia abajo en (a,c) y cóncava hacia arriba en (c,b). 

     

      Como consecuencia de las definiciones de concavidad y de punto de inflexión , observamos que un punto de inflexión (c,f(c)) ocurre en un número c para el cual f''(c)=0 o bien f''(c) no existe. 

        A continuación, se muestran los puntos de inflexión de una función.

    Ejemplo:
     

    135x + 40x3 - 3x5

    f''(x)=0 en x={-2, 0, 2}  

    f''(x) existe para todos los reales  

    Los números que forman intervalos de prueba son: {-2, 0, 2}  

    Valores de prueba: {-2.1, -1.9, 0.1, 2.1}  

    Los valores de f''(x) en los valores de prueba son: {0.191333, -0.164667, 0.0886667, -0.191333}  
     
     

    f(x)=

     

    270

    135 + 120x2 - 15x4

    f'(x)=

     

    270

    2x(2-x)(2+x)

    f''(x)=

     

    9

    De lo anterior, podemos concluir que:  

    • La gráfica es cóncava hacia arriba de - a -2
    • La gráfica es cóncava hacia abajo entre x=-2 y x=0
    • La gráfica es cóncava hacia arriba entre x=0 y x=2
    • La gráfica es cóncava hacia abajo de 2
    • Puntos de inflexión : {(-2.,-1.82963), (0,0), (2,1.82963) } 

    1.13.5 Ejercicios de Concavidad y el criterio de la segunda derivada

    1.- Utilice la segunda derivada para determinar los intervalos en los que la función dada es cóncava hacia arriba y en los que es cóncava hacia abajo:

        a) 

        b) 

    2.- Utilice la segunda derivada para localizar todos los puntos de inflexión:

        a) f(x) = x - sen x

    3.- Utilice el criterio de la segunda derivada, cuando sea aplicable, para encontrar los extremos relativos de la función dada.  Trace la gráfica.  Encuentre los puntos de inflexión y la intersecciones con los ejes, cuando sea posible:

        a) 

    CÁLCULO INTEGRAL

    2.1.2 El área bajo una curva

    Enseguida, graficaremos una función en un intervalo [a,b] y se mostrará el área contenida entre su gráfica y el eje x en el intervalo dado. Observa la siguiente gráfica.
     

    f(x)= x2 + 1 
    en el intervalo cerrado [1,5]

     

        Igual que con el problema de la tangente, empezaremos por hacer aproximaciones. Aproximaremos el área bajo la curva con el área de ciertos rectángulos.

        Observa las siguientes gráficas:
     

     

     
        Como pudiste ver en las gráficas anteriores, con los primeros rectángulos estamos sobreestimando el valor del área y con los segundos rectángulos la estamos subestimando.

        A continuación calcularemos aproximaciones cada vez mejores, tomando cada vez más y más rectángulos.

        Observa las siguientes animaciones.
     

     

        El valor exacto del área es:
     

    136

    Área = 

     

     aprox. igual 

    45.3333

    3

     

        Los resultados anteriores parecen indicar que conforme el número n de rectángulos crece, (n), el valor del área de los rectángulos tanto por la izquierda como por la derecha se acercan a un mismo número. Vamos a cuantificar y a formalizar las ideas expuestas anteriormente.
     
     

     

        Para ejemplificar lo anterior, ahora se calculará la suma de Riemann como función de n, el número de rectángulos. También se calculará el límite cuando n, cuyo valor es, por definición, el área bajo la curva.
     

    Si escogemos el extremo derecho de los subíntervalos, tendríamos que  

    2.1.3 La Integral Definida

    La noción del límite de una suma de Riemann puede extenderse a cualquier función definida en un intervalo [a,b]. Es decir, la función ya no tiene que ser mayor que cero y ni siquiera tiene que ser continua.
     

        Enseguida se calcula el valor de la integral definida de una función en un intervalo dado.
     

    f(x)= x2 - 1

    Valor de la integral
    definida: -1.04167

    Valor del área entre la 
    curva y el eje x: 1.33333

        Como habrás observado, el valor de la integral definida no es igual al valor del área bajo la curva. Esto se debe a que f(x)<0 en una parte del intervalo. En el cuaderno llamado área entre curvas se definirá de manera definitiva el área bajo una curva en términos de la Integral Definida.

    Bibliografía

    Bedient P.E. y Bedient R.E. y Rainville E.D., Ecuaciones Diferenciales, Octava Edición, Prentice Hall, México 1998

    Bradley Gerald L. y Smith Karl J., Cálculo de una variable Volumen 1 y 2, Prentice Hall Iberia, Madrid 1998

    Edwards C.H. Jr. y Penney David E., Ecuaciones Diferenciales Elementales y problemas con condiciones en la frontera, Tercera Edición, Prentice Hall, México 1993

    Huhes-Hallett Deborah y Gleason Andrew M., Cálculo, Primera edición, Compañía Editorial Continental S.A. de C.V., México 1995
    Larson, Hostetler, Edwards,  Cálculo Volumen 1 y 2, Quinta edición, Mc Graw Hill, España 1995

    Purcell Edwin J. y Varberg Dale, Cáculo con geometría analítica, Sexta Edición, Prentice Hall, México 1993

    Zill Dennis G., Cálculo con geometría analítica, Grupo Editorial Iberoamérica, México 1992

     

     

    Dr. Sergio Miguel Terrazas Porras
    Profesor de Física y Matemáticas en el Departamento de Ciencias Básicas del Instituto de Ingeniería y Tecnología de la Universidad Autónoma de Ciudad Juárez,

    sterraza[arroba]uacj.mx

    http://sterraza.ne1.net


    Artículo original: Monografías.com

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