Métodos numéricos - Método de Euler Mejorado

    1. Objetivos
    2. Introducción
    3. Descripción de los métodos
    4. Ayuda del programa (sintaxis)
    5. Conclusión
    6. Bibliografía

    Monografias.com

    Objetivos

    Objetivo General:

    • Aplicar los conocimientos básicos del cálculo, utilizando el lenguaje de programación Matlab.

    Objetivos Específicos:

    • Aplicar el algoritmo necesario para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO), a través de una pequeña aplicación desarrollada en Matlab.

    • Aplicar los algoritmos necesarios para resolver EDO, utilizando métodos numéricos, y en este caso particular, el método de Euler y Euler mejorado, a través de aplicaciones en Matlab.

    Introducción

    Las ecuaciones diferenciales aparecen naturalmente al modelar situaciones físicas en las ciencias naturales, ingeniería, y otras disciplinas, donde hay envueltas razones de cambio de una ó varias funciones desconocidas con respecto a una ó varias variables independientes. Estos modelos varían entre los más sencillos que envuelven una sola ecuación diferencial para una función desconocida, hasta otros más complejos que envuelven sistemas de ecuaciones diferenciales acopladas para varias funciones desconocidas. Por ejemplo, la ley de enfriamiento de Newton y las leyes mecánicas que rigen el movimiento de los cuerpos, al ponerse en términos matemáticos dan lugar a ecuaciones diferenciales. Usualmente estas ecuaciones están acompañadas de una condición adicional que especifica el estado del sistema en un tiempo o posición inicial. Esto se conoce como la condición inicial y junto con la ecuación diferencial forman lo que se conoce como el problema de valor inicial. Por lo general, la solución exacta de un problema de valor inicial es imposible ó difícil de obtener en forma analítica. Por tal razón los métodos numéricos se utilizan para aproximar dichas soluciones. En este caso utilizaremos los métodos de Euler y Euler mejorado.

    Descripción de los métodos

    Método de Euler

    Se llama método de Euler al método numérico consistente en ir incrementando paso a paso la variable independiente y hallando la siguiente imagen con la derivada.

    La primera derivada proporciona una estimación directa de la pendiente en Xi (ver Gráfico Nº01). Monografias.com[1]

    Donde f (Xi, Yi) es la ecuación diferencial evaluada en Xi y Yi, Tal estimación podrá substituirse en la ecuación [2] nos queda que:

    Monografias.com[2]

    Esta fórmula es conocida como el método de Euler (punto medio). Se predice un nuevo valor de Y por medio de la pendiente (igual a la primera derivada en el valor original de X).

    Monografias.com

    Error para el método de Euler

    La solución numérica de las ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO) involucra dos tipos de error.

    1) Errores de Truncamiento, o discretizacion, causados por la naturaleza de las técnicas empleadas para aproximar los valores de y.

    2) Errores de Redondeo, que son el resultado del número limite de cifras significativas que pueden retener una computadora.  

    Método de Euler Mejorado

    Este método se basa en la misma idea del método anterior, pero hace un refinamiento en la aproximación, tomando un promedio entre ciertas pendientes. 

    La fórmula es la siguiente: 

    Monografias.com

    Donde

    Monografias.com

    Para entender esta fórmula, analicemos el primer paso de la aproximación, con base en la siguiente gráfica: 

    Monografias.com

    En la gráfica, vemos que la pendiente promedio  Monografias.comcorresponde a la pendiente de  la recta bisectriz de la recta tangente a la curva en el punto de la condición inicial y la "recta tangente" a la curva en el punto  Monografias.comdonde  Monografias.comes la aproximación obtenida con la primera fórmula de Euler. Finalmente, esta recta bisectriz se traslada paralelamente  hasta el punto de la condición inicial, y se considera el valor de esta recta en  el punto  Monografias.comcomo la aproximación de Euler mejorada. 

    Ayuda del programa (sintaxis)


    El programa que hemos desarrollado, es una sencilla aplicación de consola, que lo que hace es pedir la ecuación derivada, sus respectivos valores y hacer las operaciones necesarias.

    Sintaxis utilizada

    Feval

    Evalúa la función

    Disp

    Sirve para escribir texto de salida o vectores (y matrices) sin mostrar su nombre.

    Clear all, clc

    Limpia la ventana de comandos

    Syms

    Declara las variables

    Input

    Se utiliza para que el programa pida valores de variables mientras se ejecuta.

    Aplicaciones

    Resolver la siguiente EDO de primer orden por los metodos de Euler y Euler modificado.

    y`=20y+7*(exp.(0.5*x))

    Código fuente

    METODO DE EULER

    clear all

    disp('METODO DE EULER')

    clc

    syms x

    syms y

    f=inline(input('ingrese la derivada:','s'));

    x=input('ingrese el valor de x:');

    y=input('ingrese el valor de y:');

    h=input('ingrese el valor de h:');

    n=input('ingrese numero de iteraciones:');

    clc

    disp('x(n) y(n) y´(n) hy´(n)');

    for i=1:n

    y1=feval(f,x,y);

    hy1=h*y1;

    fprintf('\n%0.1f %0.4f %0.4f %0.4f ',x,y,y1,hy1);

    y=y+hy1;

    x=x+h;

    x=0:1/20:4; plot(x, hy1,x, y1); grid on;

    end

    METODO DE EULER MODIFICADO

    clear all

    disp('METODO DE EULER MODIFICADO')

    clc

    syms x

    syms y

    f=inline(input('ingrese la derivada:','s'));

    x=input('ingrese el valor de x:');

    y=input('ingrese el valor de y:');

    h=input('ingrese el valor de h:');

    n=input('ingrese numero de iteraciones:');

    clc

    disp('x(n) y´(n) hy´(n) y(n+1),p hy´(n+1),p y(n+1),c');

    for i=1:n

    s=h+x;

    y1=feval(f,x,y);

    hy1=h*y1;

    y2=y+hy1;

    y3=feval(f,s,y2);

    hy2=y3*h;

    yn=y+((hy1+hy2)/2);

    fprintf('\n%0.1f %0.4f %0.4f %0.4f %0.4f %0.4f',x,y,hy1,y2,hy2,yn);

    y=yn;

    x=x+h;

    x=0:1/20:4; plot(x, hy1,x, y1); grid on;

    end

    Conclusión

    Podemos afirmar, que los programas aquí expuestos resuelven EDO, de primer orden; y probablemente podemos destacar los errores que existen por c/u, de los métodos. Se dice que los errores del método de Euler, radica en un intervalo proporcional a h2, mientras que su error global es proporcional a h; este método podría ser inestable si la EDO, tiene una constante de tiempo con signo negativo, a menos que se utilice una h pequeña, en cambio en el método modificado si la EDO, no es lineal, se requiere de un método iterativo para cada intervalo. Su error en un intervalo es proporcional a h3, mientras que su error global lo es a h2. En fin podemos afirmar que ambos métodos poseen una desventaja, que consiste en que los órdenes de precisión son bajos. Esta desventaja tiene dos facetas, para mantener una alta precisión se necesita una h pequeña, lo que aumenta el tiempo de cálculo y provoca errores de redondeo.

    Bibliografía

    Shoichiro Nakamura, "Metodos numericos aplicados con software",1992.

    Creese, T.M. y R.M. Maralick,Ecuaciones diferenciales para ingenieros, Mc Graw hill,1978.

    Constantin, A., Aplicacones de metodos numericos,Mac Graw hill, 1987.

     

     

     

     

    Enviado por:

    Paula Fernigrini

    paulafernigrini[arroba]hotmail.com

     

     

    Autor:

    José Thomas Aguirre Valle

    Federico Matus

    Daniel Gutiérrez

    Rafael Torres

    Trabajo final de Calculo II

    Docente: Alberto Silva

    Julio 03 de 2009

    Managua, Nicaragua 2009



    Artículo original: Monografías.com

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