Propuesta de metodología a seguir para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden

    1. Resumen
    2. Introducción
    3. Desarrollo
    4. Conclusiones
    5. Recomendaciones
    6. Bibliografía

    Pensamiento

    Un gran descubrimiento resuelve un gran problema, pero en la solución de cualquier problema hay una pizca de descubrimiento.

    Tu problema puede ser modesto, pero si es un reto para tu curiosidad y hace que entren en juego tus facultades de inventiva, y si lo resuelves con tus propios medios, experimentarás la tensión y gozarás el triunfo de descubrimiento

    George Polya.

    Resumen

    En el presente material se brinda y se ejemplifica una propuesta de metodología a seguir para resolver ciertos tipos de ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden integrables en cuadraturas, o sea, que se pueden resolver con ayuda de la realización de una cantidad finita de operaciones aritméticas y de derivación e integración de funciones elementales.

    Introducción

    El autor de este material ha impartido durante un período de tres cursos consecutivos la asignatura matemática 3 en la Universidad de Ciencias Informáticas. Esta asignatura aborda los temas:

    • Series

    • Ecuaciones diferenciales

    • Integrales múltiples.

    En este trabajo el autor (para no hacer muy extenso el mismo) hace énfasis solo en uno de estos temas: el tratamiento de las ecuaciones diferenciales.

    El intercambio con no pocos profesores de la asignatura así como la experiencia obtenida a partir de la impartición de docencia en grupos, la observación de clases desarrolladas por otros profesores y la observación del comportamiento de los estudiantes mientras resuelven ejercicios de ecuaciones diferenciales en clases prácticas y en consultas, le ha permitido al autor de este trabajo arribar a la conclusión de que uno de los factores que atenta contra el éxito de los estudiantes respecto a la obtención de la solución de ecuaciones diferenciales(cuyo nivel de dificultad se corresponda con los contemplados en el programa de la asignatura) es el pretender solucionarlas sin la interiorización de que no permiten aplicarles a todas un mismo procedimiento de solución ya que , precisamente, tal procedimiento no existe. En este sentido es oportuno destacar que los estudiantes carecen muchas veces de una base orientadora de las acciones a realizar al resolver una ecuación diferencial, la cual debe ser analizada por parte de los profesores conjuntamente con los estudiantes.

    La problemática anterior motivó al autor a confeccionar este material con el cual se traza como objetivos:

    • Mostrar una propuesta de metodología a seguir por parte de los estudiantes para resolver una ecuación diferencial ordinaria de primer orden de los tipos y grados de dificultad contemplados en el programa de la asignatura M3 en la Universidad de Ciencias Informáticas (UCI).

    • Ilustrar a través de ejemplos la aplicación de la metodología antes mencionada.

    En el presente material primeramente se hace referencia al grado con que son abordados los procedimientos heurísticos en la enseñanza de la matemática a través de la puesta en práctica de los programas de matemática así como lo ventajoso que resulta el tenerlos en cuenta durante la dirección del proceso de enseñanza-aprendizaje de la matemática. A continuación se presenta una propuesta de metodología a seguir para solucionar ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden y primer grado con los grados de complejidad concebidos para ser abordados en el programa de la asignatura matemática III en la UCI. Vale destacar que la metodología propuesta es una moderada modificación(a partir de haber realizado ciertas especificaciones y aclaraciones) a la que se propone en el texto a continuación referenciado:

    Colectivo de autores. Ecuaciones Diferenciales. Editorial Pueblo y Educación. La Habana.1985.Pp 66; 67.

    A continuación se presentan diez ejercicios a modo de ejemplos ilustrativos del seguimiento de esta metodología. Posteriormente se propone un conjunto de ecuaciones diferenciales a modo de ejercicios a realizar en un estudio independiente por parte del lector interesado.

    Desarrollo

    En la enseñanza de la matemática los estudiantes deben realizar actividades mentales muy diversas: resolver problemas, demostrar proposiciones (puede que sean teoremas), realizar construcciones auxiliares, etc., lo cual exige de ellos una planificación adecuada del trabajo, dirigida hacia el objetivo que se quiere alcanzar, de modo que se racionalice el esfuerzo mental y práctico y el tiempo disponible se utilice con efectividad.




    La importancia del trabajo planificado y la racionalización del trabajo mental de los estudiantes adquiere cada vez mayor importancia desde el punto de vista social y en el sentido de una racionalización tanto externa (con ayuda de medios auxiliares) como interna (mediante la utilización consciente de procedimientos de solución y formas de trabajo y de pensamiento en la matemática),de ahí que este aspecto constituya punto de vista esencial para la estructuración de los métodos de enseñanza-aprendizaje de la matemática.

    ¿Cómo lograr en los estudiantes un trabajo racional, planificado y orientado hacia el objetivo (en particular la solución de problemas)?

    Para desarrollar tal capacidad en los estudiantes tanto éstos como los profesores deben ser protagonistas de la llamada instrucción heurística por lo cual se entiende la enseñanza de manera consciente y planificada, tener conocimiento de las reglas generales y especiales de la heurística para la solución de problemas, o sea, impulsos o indicaciones que faciliten el descubrir, hallar, inventar vías de solución a problemas así como el reconocimiento de aquellos conocimientos de uso indispensable para alcanzar el éxito.

    Según el criterio de algunos autores los elementos heurísticos se dividen en dos categorías: procedimientos heurísticos y medios auxiliares heurísticos (entre los cuales podríamos citar a los esquemas).

    El empleo de la instrucción heurística en el proceso de enseñanza-aprendizaje es de vital importancia ya que contribuye a lograr:

    • la independencia cognoscitiva de los estudiantes.

    • la integración de los nuevos conocimientos, con los ya asimilados.

    • el desarrollo de operaciones intelectuales tales como: analizar, sintetizar, comparar, clasificar, etc. y de las formas de trabajo y de pensamiento fundamentales de la ciencia matemática: variación de condiciones, búsqueda de relaciones y dependencias, y consideraciones de analogía.

    • la formación de capacidades mentales, tales como: la intuición, la productividad, la originalidad de las soluciones, la creatividad, etcétera.

    A lo largo del tratamiento del segundo tema de la asignatura matemática III en la Universidad de las Ciencias Informáticas se aborda la resolución de los siguientes tipos de ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden y primer grado:

    • Ecuaciones de variables separadas, de variables separables y reducibles a éstas.

    • Ecuaciones exactas.

    • Ecuaciones reducibles a exactas mediante la multiplicación por un factor integrante que depende de una sola variable.

    • Ecuaciones lineales.

    Para cada uno de los tipos anteriores se estudia un método para encontrar la solución general de la ecuación dada, además se estudian algunas sustituciones que pueden ser utilizadas cuando la ecuación dada no es de un tipo conocido.

    El estudiante, además de ser testigo de la necesidad de reactivar ciertas habilidades relacionadas con la derivación e integración de funciones reales de variable real, debe haberse percatado de que no existe un procedimiento algorítmico a aplicar a todas las ecuaciones de primer orden ,o sea, no se cuenta con una regla exacta sobre la ejecución de cierto sistema de acciones, en un determinado orden, que permita arribar a la solución general de cualquier ecuación diferencial de primer orden, sino que,(al igual que en el caso de la integración y el tratamiento de las series numéricas) el éxito depende de una abundante práctica la cual permitirá decidir en cada caso cómo escribir la ecuación y posteriormente elegir el método a aplicar.

    De lo anteriormente planteado puede afirmarse que el primer problema que se nos presenta al tratar de resolver una EDO. (ecuación diferencial ordinaria) es el de reconocer de qué tipo es dicha ecuación y decidir qué metodología emplear para integrar (resolver) dicha ecuación. Para facilitar lo anterior daremos una propuesta de metodología, que se resume en el diagrama siguiente, para cuando por simple inspección no está en condiciones de elegir qué estrategia seguir. No es otra cosa que una sucesión de indicaciones de carácter heurístico para la orientación de las acciones de los estudiantes en medio de la necesidad de resolver una ecuación diferencial de primer orden y primer grado.

    Propuesta de metodología para abordar la resolución de ecuaciones diferenciales de 1er orden y 1er grado.

    Monografias.comMonografias.comMonografias.com

    Nota:

    Reconocer por simple inspección de qué tipo es la ED. dada significa detectar si es una ecuación lineal o si es una ED. que tiene ya sus varibles separadas, porque en cualquier otro caso resulta , por lo general , dificil determinar por simple inspección de qué tipo se trata. El último bloque indica la posibilidad de resolver una ED que no sea de los tipos estudiados, haciendo alguna sustitución conveniente que permita transformar la ED. dada en una de alguno de los tipos estudiados.

    A continuación se presentan algunos ejemplos a modo de ilustración de aplicación de la propuesta de metodología.

    Ejemplo1

    Monografias.com

    Intentemos separar las variables. Esta es una ecuación de variables separables, ya que se logra separar las variables:

    Monografias.com

    Ahora procedemos a integrar en ambos miembros.

    Monografias.comSolución general en forma implícita)

    En este caso no es difícil obtener la solución general en forma explícita.

    Monografias.com

     

    Ejemplo 2

    Monografias.com

    ¿Reconocemos de qué tipo es la ecuación? Supongamos que la respuesta no es afirmativa.

    No identificamos, por simple inspección, de qué tipo es la ecuación, por lo que intentaremos separar las variables. En esta ecuación aparece despejada la derivada, por lo que si se lograra factorizar el polinomio que constituye el segundo miembro de esta ecuación en un producto de dos factores donde uno de ellos dependa solo de x y el otro dependa solo de ¨y¨lograremos reconocer una ecuación de variables separables.

    Si se factoriza (mediante agrupamiento de sus términos) dicho polinomio la ecuación nos queda:

    Monografias.com

    Monografias.com

    Separemos variables e integrando miembro a miembro:

    Monografias.com

    Ejemplo 3

    Monografias.com

    ¿Reconocemos de qué tipo es la ecuación? Supongamos que la respuesta no es afirmativa.

    ¿Podremos separar las variables?

    No logramos clasificar la ecuación ni logramos separar las variables. Escribamos la ecuación en forma diferencial.

    Monografias.com

    Aquí debe notarse que la ecuación no admite separar sus variables (¿Por qué?). Analicemos si es exacta.

    Monografias.com

    La ecuación no es exacta.(¿Por qué?) ¿Será reducible a una ecuación exacta?

    Monografias.com

    La ecuación admite una infinidad de factores integrantes que dependen solo de "y". Tomemos el que corresponde a c=0 y multipliquémosla por dicho factor.

    Monografias.com

    Como la ecuación es exacta hallemos la función de la cual el primer miembro es la diferencial total.

    Monografias.com

    Pero Monografias.com

    Entonces podemos plantear la siguiente cadena de igualdades:

    Monografias.comMonografias.com

    La solución general (en forma implícita) de la ecuación puede escribirse así:

    Monografias.com

    Ejemplo 4

    Monografias.com

    ¿Reconocemos de qué tipo es la ecuación?

    Supongamos que no reconocemos de qué tipo es la ecuación. Escribamos la ecuación en la forma:

    Monografias.com

    ¿Y si invertimos las razones en cada uno de los miembros de la ecuación?

    Obtenemos la ecuación

    Monografias.com

    Esta ecuación es de la forma x"(y)+p(y)x=q(y),por lo que es una ecuación lineal de primer orden. Toda ecuación lineal de primer orden admite un factor integrante el cual ,en este caso, se obtiene mediante la fórmula Monografias.comAl multiplicar la ecuación por este factor integrante se obtiene:

    Monografias.com

    Le invitamos a verificar que esta manera de escribir la solución es equivalente a la obtenida en el ejemplo anterior.

    Con la resolución de los ejemplos 3 y 4 el autor quiere hacer notar cómo una misma ecuación diferencial puede ser abordada a partir de ofrecer para ella distintos puntos de vista de clasificación.

    Ejemplo 5

    Monografias.com

    No logramos clasificarla a simple vista. Rescribamos la ecuación.

    Monografias.com

    Podemos considerar esta ecuación como una ecuación de Bernoulli ya que tiene la forma Monografias.com

    Hagamos la sustitución Monografias.com

    Monografias.com

    Sustituyamos esta igualdad en la ecuación Monografias.compara reducirla a una ecuación lineal de primer orden.

    Monografias.comEsta ecuación lineal es a su vez una ecuación de variables separables.

    Monografias.com

     

    Ejemplo 6

    Monografias.com

    No identificamos el tipo de ecuación a simple vista por lo que decidimos intentar separar las variables.

    Monografias.comLogramos que se separaran las variables.

    Monografias.com

    Una vez más se ha querido ilustrar cómo abordar una misma ecuación diferencial desde distintos puntos de vista.

    Ejemplo 7

    Monografias.com

    No logramos clasificar la ecuación tal como se nos presenta.

    ¿Logró separar las variables?

    No es posible separar las variables pero la ecuación está dada en la forma M(x,y)dx+N(x,y)dy=0,por lo que analizaremos si es exacta.

    Monografias.comLa ecuación no es exacta. ¿Será reducible a exacta por medio de un factor integrante que dependa de una sola variable?

    Monografias.com

    No logramos nuestro objetivo (un factor integrante que dependa de una sola variable).

    Rescribamos la ecuación:

    Monografias.com

    La ecuación obtenida es una ecuación de Bernoulli. Le invitamos a que concluya el ejercicio.

    Respuesta:

    Monografias.com

    Ejemplo 8

    Monografias.com

    Si dividimos la ecuación por el coeficiente de la derivada obtenemos la ecuación

    Monografias.comEsta es una ecuación lineal de primer orden.

    Le invitamos a concluir la resolución de esta ecuación.

    Respuesta:

    Monografias.com

     

    Ejemplo 9

    Aquí desarrollaremos un ejemplo que requiere componer previamente la ecuación a clasificar y resolver con posterioridad. Se trata de las trayectorias ortogonales de una familia de curvas.

    Hallar las trayectorias ortogonales de la familia de curvas dada por Monografias.com

    Recordemos que trayectoria ortogonal de una familia de curvas es toda curva que sea ortogonal en algún punto a cada miembro de la familia dada. De lo antes dicho se concluye que cualquiera de estas curvas tiene la propiedad de que en cualquiera de sus puntos la recta tangente es perpendicular a la tangente de algún miembro de la familia en dicho punto.

    ¿Cuál es la ecuación paramétrica que describe la familia de curvas?

    Monografias.com

    Hallemos la expresión correspondiente a las respectivas pendientes de sus tangentes, para lo cual derivamos ambos miembros de esta ecuación.

    Monografias.com

    ¿Cómo viene dada la pendiente de cualquier recta perpendicular a una cualquiera de estas tangentes?

    Como estamos haciendo referencia a rectas en un plano cartesiano, mutuamente perpendiculares, entonces sus pendientes (en caso de estar definidas) son, cada una, el opuesto del recíproco de la otra.

    Entonces en la ecuación anterior hacemos el cambio:

    Monografias.com

    De donde se obtiene:

    Monografias.com

    Si despejamos k de la ecuación de la familia de curvas y sustituimos en la ecuación anterior nos queda:

    Monografias.com

    Esta ecuación la identificamos como una ecuación de variables separables ya que su segundo miembro se expresa como producto de un factor que depende solo de x y otro que depende de "y". Resolvámosla.

    Monografias.com

    Asignémosle algunos valores a c y hagamos un gráfico en el asistente matemático Derive.

    Monografias.com

    Ejemplo 10

    Monografias.com

    ¿Reconoce el tipo de ecuación?

    Aquí tenemos una ecuación en la forma Monografias.compor lo que resulta ser una ecuación reducible a una ecuación de variables separables mediante la sustitución z=ax+by+c.

    En este caso hagamos z=x+y-2.

    Monografias.com

    A continuación se propone un grupo de ejercicios en los cuales (al menos en el caso de los estudiantes principiantes) se sugiere seguir las sugerencias de la metodología propuesta.

    Ejercicio

    Resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales utilizando en cada caso el método analítico que considere más apropiado. Hállense las soluciones particulares en los casos que se brinden condiciones para ello. En cada caso de ser posible corrobore la respuesta en Derive.

    • a) Monografias.com

    Respuesta:

    Monografias.com

    • b) Monografias.com

    Respuesta:

    Monografias.com

    • c) Monografias.com

    Respuesta:

    Monografias.com

    • d) Monografias.com

    Respuesta:

    Monografias.com

    • e)  Monografias.com

    Respuesta:

    Monografias.com

    • f) Monografias.com

    Respuesta:

    Monografias.com

    • g) Monografias.com

    Respuesta:

    Monografias.com

    • h) Monografias.com

    Respuesta:

    Monografias.com

    • i) Monografias.com

    Respuesta:

    Monografias.com

    • j) Monografias.com

    Respuesta:

    Monografias.com

    • k) Monografias.com

     

    Respuesta:

    Monografias.com

    • l) Monografias.com

    Respuesta:

    Monografias.com

    ll) Monografias.com

    Respuesta:

    Monografias.com

    • m) Monografias.com

    Respuesta:

    Monografias.com

    • n) Monografias.com

    Respuesta:

    Monografias.com

    Conclusiones

    Con los ejemplos desarrollados en este material se ha querido ilustrar una propuesta de cómo proceder para resolver, mediante métodos analíticos, una ecuación diferencial ordinaria de primer orden que sea integrable en cuadraturas, siguiendo la metodología propuesta.

    Se hace imprescindible una abundante práctica siempre que se persiga como finalidad el que el estudiante desarrolle las habilidades necesarias para lograr decidir qué método elegir en cada caso que se presente, hasta llegado el momento en que resuelva ecuaciones diferenciales sin necesidad de consultar el conjunto de indicaciones de carácter heurístico presentado.

    Recomendaciones

    Se recomienda tanto a estudiantes como a profesores (en particular a profesores de matemática III en la UCI) que estudien este material y posteriormente valoren y comuniquen al autor de este trabajo en qué medida les ha sido útil, en el caso de los primeros en el desarrollo de sus clases y, en el caso de los segundos, a la hora de resolver una tarea que requiera resolver mediante métodos analíticos una ecuación diferencial ordinaria de primer orden integrable en cuadraturas.

    Bibliografía

    Colectivo de autores. Ecuaciones Diferenciales. Editorial Pueblo y Educación. La Habana.1985.Pp 66; 67.

    Colectivo de autores. Metodología de la enseñanza de la matemática. Tomo I. Editorial Pueblo y Educación. La Habana.1992.Pp 223; 225; 226.

    A mis alumnos, a los estudiantes y a profesores de matemáticas.

     

     

     

     

    Autor:

    Alejandro Martínez Castellini

    alexmc[arroba]uci.cu

    Universidad de Ciencias Informáticas

    Facultad 7



    Artículo original: Monografías.com

    Mantente al día de todas las novedades

    Propuesta de metodología a seguir para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden

    Indica tu email.
    Indica tu Provincia.
    Al presionar "Enviar" aceptas las políticas de protección de datos y privacidad de Plusformación.

    Escribir un comentario

    Deja tu comentario/valoración:

    El contenido de este campo se mantiene privado y no se mostrará públicamente.
    Si especificas la url de tu página o perfil de Google+, aparecerá el avatar que tengas en Google+
    Deja tu comentario y nosotros te informaremos
    CAPTCHA
    Esta pregunta se hace para comprobar que es usted una persona real e impedir el envío automatizado de mensajes basura.
    5 + 2 =
    Resuelva este simple problema matemático y escriba la solución; por ejemplo: Para 1+3, escriba 4.