Ternas pitagóricas y racionales

    1. Resumen
    2. Fórmulas para ternas pitagóricas y ternas racionales. Introducción
    3. Teoremas de ternas pitagóricas y ternas racionales
    4. Ejemplos


    Resumen:

    Las formulas para obtener todas las ternas pitagóricas y racionales, se pueden demostrar por el análisis de una ecuación que es expresada como la suma de números enteros. Las ternas pueden ser representadas por triángulos rectángulos, por eso se pueden aplicar en algunas demostraciones de construcciones geométricas.

    Fórmulas para ternas pitagóricas y ternas racionales:

    Introducción:

    Los pitagóricos se interesaron por los triángulos rectángulos con lados enteros, los cuales se conocen como triángulos pitagóricos. Esto se puede expresar como:

    Donde la terna de números son las longitudes de los lados de los triángulos.

    De [1] se sabe que Euclides en su libro X dio un método para obtener todas las ternas pitagóricas, si bien no demuestra que este método, realmente, las da todas. El método se puede establecer sumariamente por las formulas:

    en donde y son enteros positivos arbitrarios tales que y carecen de factores primos comunes, y uno de ellos, o es par y el otro impar. Sin embargo y están dadas en función de tres parámetros y con condiciones algo complicadas, por eso, de los teoremas 1 y 2 son útiles las formulas para encontrarlas todas las ternas pitagóricas y racionales respectivamente, con sencillas condiciones de tres parámetros y .




     

    Teoremas de ternas pitagóricas y ternas racionales:

    Teorema 1:

    Si la fórmula de Pitágoras es representada con las letras , y entonces se tiene que:

    (1)

    Son ternas pitagóricas , y si y solo si cumplen las siguientes condiciones en los cuatro casos:

    Caso 1:

    Caso 2:

    Caso 3:

    Caso 4:

    (1.1)

    Donde en los cuatro casos: y son enteros tal que y .

    Demostración:

    Para demostrar estos teoremas es necesario expresar la formula de Pitágoras en la forma:

    (2)

    Donde , y pertenecen al conjunto de los enteros, por tanto también:

    (2.1)

    Pertenecen al conjunto de los enteros. Desarrollando los binomios de la ecuación 2 y simplificando queda:

    (2.3)

    Despejando por medio de la formula general cuadrática se tiene:

    Simplificando:

    (2.4)

    Analizando la parte de la raíz de la ecuación 2.4:

    (2.5)

    Hay 4 posibilidades para no tener números irracionales en 2.5:

    Caso 1:

    Caso 2:

    Caso 3:

    Caso 4:

    (2.5.1)

    Donde es un entero tal que

    Cuando es entero mayor que cero. Sustituyendo en las ecuaciones 2.5.1:

    Caso 1:

    Caso 2:

    Caso 3:

    Caso 4:

    (2.5.2)

    Donde en los cuatro casos: y son enteros tal que y . Aplicando las ecuaciones 2.5.2 a 2 quedan los casos:

    Caso 1:

    Caso 2:

    Caso 3:

    Caso 4:

    (2.6)

    Simplificando los elementos que se elevan al cuadrado de 2.6 se tienen,

    Caso 1:

    Caso 2:

    Caso 3:

    Caso 4:

    (2.6.1)

    Entonces por las ecuaciones 2.6.1 son ternas pitagóricas enteras , y si y solo si cumplen las siguientes condiciones:

    Caso 1:

    Caso 2:

    Caso 3:

    Caso 4:

    (2.6.2)

    Donde en los cuatro casos: y son enteros tal que y , que era lo que se quería demostrar.

    Observación 1: solamente se cumplen las igualdades 2.6.2, cuando se toma el elemento positivo o negativo en , y , esto es:

    Caso 1:

    Caso 2:

    Caso 3:

    Caso 4:

    O también:

    Caso 1:

    Caso 2:

    Caso 3:

    Caso 4:

    Teorema 2:

    Si la formula de Pitágoras es representada con las letras y entonces queda:

    (3)

    Cuando son ternas racionales y si y solo si cumplen las siguientes condiciones:

    Caso 1:

    Caso 2:

    Caso 3:

    Caso 4:

    Donde en los cuatro casos: y son enteros tal que y .

    Demostración:

    Si la ecuación 3 es multiplicada por y se simplifica queda:

    (3.1)

    Por definición de número racional se sabe que los productos y son números enteros esto quiere decir que por el teorema 1 son ternas pitagóricas y si y solo si cumplen las siguientes condiciones:

    Caso 1:

    Caso 2:

    Caso 3:

    Caso 4:

    (3.2)

    Donde en los cuatro casos: y son enteros tal que y , por lo tanto en la ecuación 3 son ternas pitagóricas racionales y si y solo si cumplen las anteriores condiciones, que era lo que se quería demostrar.

    Estos teoremas pueden servir para demostraciones geométricas cuando se tiene la figura como varios triángulos pitagóricos, o cuando se tienen lados racionales. El conjunto de los racionales contiene a los enteros, por tanto el teorema 1 es un caso particular del teorema 2.

    Ejemplo 1:

    Demostrar que no se puede construir un cuadrado cuyos lados y , pertenecen al conjunto de los enteros tal que (Fig. 1).


    Figura 1.

    Demostración: si y , pertenecen al conjunto de los enteros y

    (4)

    Por el teorema de Pitágoras:

    (4.1)

    Por el teorema 1, en todos los casos se debe de cumplir lo siguiente:

    (4.2)

    Esto es imposible, ya que para todos los casos y valores posibles de y siempre se cumplirá:

    Caso 1:

    Caso 2:

    Caso 3:

    Caso 4:

    Que era lo que se quería demostrar.

    Ejemplo 2:

    Demostrar que no se puede construir un paralelepípedo rectangular que tiene las características de que todas sus aristas y todas sus diagonales miden números enteros (fig.2).

    Figura 2.

    Demostración: si y pertenecen al conjunto de los enteros y por el teorema de Pitágoras se tienen las igualdades:

    (5)

    Por el teorema 1 en cualquier caso se debe cumplir que:

    (5.1)

    Aplicando 5.1 en 5 también se debe de cumplir:

    Igualdad que por hipótesis es absurda, como se quería demostrar.

    Referencias:

    [1] Apóstol, T. M. (1984/2002). Introducción a la teoría de números. (2ª Reimpresión, p.4). Sevilla: Reverte, S.A.

     

    Diego Galván Caldera

    Tecnólogo

    Estudiante de licenciatura en física de cuarto semestre en el Centro de Ciencias Exactas e Ingenierías (CUCEI), Universidad de Guadalajara

    galvancalderadiego30732[arroba]yahoo.com

    Tecnólogo Diego Galván Caldera, egresado del Centro de Enseñanza Técnica Industrial (CETI), de la carrera de Maquinas-Herramienta.

     



    Artículo original: Monografías.com

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