Secciones cónicas y sus aplicaciones

  1. Introducción
  2. Historia de cónicas
  3. Definición
  4. Clasificación de las cónicas
  5. Aplicaciones de las secciones cónicas
  6. Ejercicio resuelto
  7. Conclusiones
  8. Bibliografía

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Introducción

Las figuras cónicas, se puede obtener como intersección de una superficie cónica con un plano.Llamamos superficie cónica de revolución a la superficie engendrada por una línea recta que gira alrededor de un eje manteniendo un punto fijo sobre dicho eje, mientras que denominamos simplemente cónica a la curva obtenida al cortar esa superficie cónica con un plano, las diferentes posiciones de dicho plano nos determinan distintas curvas: circunferencia, elipse, hipérbola y parábola.

La importancia fundamental de las cónicas radica en su constante aparición en situaciones simples.

La primera ley de Kepler sobre el movimiento de los planetas que estos siguen orbitas elípticas, en uno de cuyos focos se encuentra el Sol. Es muy posible que Newton no hubiese podido descubrir su famosa ley de la Gravitación Universal de no haber conocido ampliamente la geometría de las elipses.

La orbita que sigue un objeto dentro de un campo gravitacional constante es una parábola. Así, la línea que describe cualquier móvil que es lanzado con una cierta velocidad inicial, que no sea vert9ical, es una parábola.

Esto no es realmente exacto, ya que la gravedad no es constante: depende de la del punto al centro de la Tierra. En realidad la curva que describe el móvil es una elipse que tiene uno de sus focos en el centro de la Tierra.

OBJETIVOS

  • Conocer y aplicar las propiedades a cada una de las cónicas, definidas como lugares geométricos.

  • Reconocer las cónicas como variantes de un mismo modelo geométrico.

  • Fomentar el interés por las matemáticas.

  • Comprender los diversos usos de la teoría de las secciones conicas en la realidad.

Historia de cónicas

- Menecmo (350 A.C.) descubrió estas curvas y fue el matemático griego Apolonio (262-190 A.C.) el primero en estudiar detalladamente las curvas cónicas y encontrar la propiedad plana que las definía.

- Apolonio descubrió que las cónicas se podían clasificar en tres tipos a los que dio el nombre de: elipses, hipérbolas y parábolas.. Apolonio demostró que las curvas cónicas tienen muchas propiedades interesantes. Quizás las propiedades más interesantes y útiles que descubrió Apolonio de las cónicas son las llamadas propiedades de reflexión.

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- Arquímedes (287-212 A.C.) logró incendiar las naves romanas durante la defensa de Siracusa usando las propiedades de los espejos parabólicos.

En la actualidad esta propiedad se utiliza para los radares, las antenas de televisión y espejos solares. La propiedad análoga, que nos dice que un rayo que parte del foco se refleja paralelamente al eje sirve para que los faros de los automóviles concentren el haz en la dirección de la carretera o para estufas. En el caso de los espejos hiperbólicos, la luz proveniente de uno de los focos se refleja como si viniera del otro foco, esta propiedad se utiliza en los grandes estadios para conseguir una superficie mayor iluminada.

- René Descartes (1596-1650) desarrolló un método para relacionar las curvas con ecuaciones. Este método es la llamada Geometría Analítica. En la Geometría Analítica las curvas cónicas se pueden representar por ecuaciones de segundo grado en las variables x e y. El resultado más sorprendente de la Geometría Analítica es que todas las ecuaciones de segundo grado en dos variables representan secciones cónicas se lo debemos a Jan de Witt (1629-1672). Sin lugar a dudas las cónicas son las curvas más importantes que la geometría ofrece a la física.

Por ejemplo, las propiedades de reflexión son de gran utilidad en la óptica. Pero sin duda lo que las hace más importantes en la física es el hecho de que las órbitas de los planetas alrededor del sol sean elipses y que, más aún, la trayectoria de cualquier cuerpo sometido a una fuerza gravitatoria es una curva cónica.

- Johannes Kepler (1570-1630) descubrió que las órbitas de los planetas alrededor del sol son elipses que tienen al sol como uno de sus focos en el caso de la tierra la excentricidad es 0.017 y los demás planetas varían desde 0.004 de Neptuno a 0.250 de Plutón.. Más tarde el célebre matemático y físico inglés Isaac Newton (1642-1727) demostró que la órbita de un cuerpo alrededor de una fuerza de tipo gravitatorio es siempre una curva cónica.

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Definición

Se denomina cónica o sección cónica al conjunto de los puntos que forman la intersección de un plano con un cono de revolución de dos ramas. Si el plano es perpendicular al eje del cono, la intersección es una circunferencia o punto, según que corte a una rama o pasa por el vértice. Si el plano no perpendicular al eje, pero corta a toda generatriz, la intersección es una elipse. Si plano es paralelo a una genetriz y corta a todas las demás, la intersección es una parábola. Si el plano corta a dos ramas del cono y no pasa nada por el vértice, la intersección es una hipérbola, Si el plano pasa por el vértice, la intersección es un punto, dos rectas que se cortan, o una sola recta.

Clasificación de las cónicas

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  • 1. PARÁBOLA de colocar al lado o "comparar"

Denominamos parábola al lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo, llamado foco, y de una recta fija llamada directriz. Entonces la parábola es el conjunto de puntos del plano que está a la misma de un punto, su foco, y de una recta fija, su directriz

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La entre el foco y la directriz de una parábola recibe el nombre de parámetro de la parábola (suele denotarse por p). Dada una parábola, se llama eje de la misma la recta que contiene al foco y es perpendicular a la directriz. Se llama vértice de la parábola al punto donde ésta corta a su eje.

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  • 2. CIRCUNFERENCIA

La circunferencia podemos definirla como una línea curva cerrada que consta de la sucesión de puntos equidistantes de un punto llamado centro. El término equidistar significa que están a la misma . Los puntos de la circunferencia y los que se encuentran dentro de ella forman una superficie llamada círculo.

Ecuación general de la circunferencia:

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  • 3. HIPÉRBOLA de "avanzar mas alla", el area exedia el segmento dado.

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Es un conjunto de puntos con coordenadas (x,y) en un plano cartesiano cuya diferencia de sus distancias a dos puntos fijos colineales en el plano es constante. Estos puntos fijos reciben el nombre de focos de la hipérbola, y la línea recta sobre la cual están localizados los focos recibe el nombre eje focal o eje mayor. El punto medio entre los focos, de coordenadas (h,k), recibe el nombre de centro y a los puntos donde la hipérbola interseca al eje focal se les denomina vértice. A la recta que pasa por el centro, y que es perpendicular al eje focal, recibe el nombre de eje conjugado. A las dos curvas que forman la hipérbola se les llama ramas. La hipérbola tiene dos rectas inclinadas denominadas asíntotas, a las cuales las ramas de la hipérbola se acercan sin interceptarlas y que facilitan o sirven como guías para graficarlas.

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  • 4. ELIPSE que significa una deficiencia, se utilizaba cuando un rectángulo dado debía aplicarse a un segmento dado y resultaba escaso en un cuadrado.

Una definición intuitiva de la elipse sería la siguiente: "Una elipse es una curva ovalada que se asemeja a un círculo alargado". Una definición más precisa sería la siguiente:

"Una elipse es el conjunto de todos los puntos en un plano cuya a dos puntos fijos en el palo tienen una suma constante. Los puntos fijos son los focos de la elipse. La recta que une los focos es el eje focal. El punto sobre el eje focal que está en el punto medio entre los dos focos es el centro. Los puntos donde la elipse interseca a su eje son los vértices de la elipse.

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Aplicaciones de las secciones cónicas

"Los planetas en su movimiento alrededor del Sol describen órbitas elípticas en uno de cuyos focos se encuentra el Sol" (Primera Ley de Kepler, 1609).

PROPIEDADES REFLECTORAS

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Las aplicaciones principales de las parábolas incluyen su como reflectores de luz y ondas de radio. Los rayos originados en el foco de la parábola se reflejan hacia afuera de la parábola, en líneas paralelas al eje de la parábola. Aun mas el tiempo que tarda en llegar cualquier rayo al foco a una recta paralela a la directriz de la parábola ( y por lo tanto estas propiedades se utilizan en linternas, faros de automviles, en antenas de transmisión de microondas.

Si una elipse se hace girar alrededor de su eje mayor sobre una superficie (denominado elipsoide)

Y el interior es cromado para producir en el espejo, la luz de un foco será reflejada hacia el otro foco. Los rayos reflejan el sonido de la misma manera y esta propiedad se utiliza para construir galería de susurros, habitaciones en las que una persona parada en foco puede escuchar un sonido emitido desde el otro foco como por ejemplo el Salon de los Estatutos del Capitolio en EEUU.

Las propiedades ópticas de la parábola y de la hipérbola se combinan en el diseño del telescopio reflector:

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EXCENTRICIDAD DE UNA ELIPSE

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Los planetas del sistema solar giran alrededor del sol en orbitas (aproximadamente) elípticas, con el sol en uno de los focos. La mayoría de las orbitas son casi circulares, como señalan las excentricidades listadas en la tabla. Pluton tiene la orbita mas excéntrica, con e = 0,21 . otros miembros del sitema solar tienen orbitas todavias mas excéntricas, icaro un asteroide de aproximadamente 1 milla de ancho que da una vuelta alrededor del sol cada 409 dias terrestres, tiene una orbita con excentricidad de 0,83.

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La hipérbola tiene una propiedad interesante: Si unimos cualquier punto, P, de la hipérbola con sus focos, el ángulo que forman los radios focales con la tangente en ese punto, son iguales. (También se puede decir que la tangente es la bisectriz del ángulo que forman los radios focales). Esta propiedad se utiliza en la construcción de espejos (de luz y sonido), pues la emisión, de luz o sonido, desde el foco se refleja en la dirección de la recta que une el otro foco con el punto

SISTEMA DE NAVEGACIÓN LORAN

Consiste en mandar una señal de radio simultáneamente desde dos puntos muy lejanos entre sí, cuyas posiciones se conocen con exactitud. A partir del tiempo y del orden de llegada de las dos señales, es posible determinar la posición de una de ellas considerando que están en una rama de determinada hipérbola, cuyos focos son las estaciones. Si se agrega una tercera estación como la anterior, se puede usar ésta con cualquiera de las 2 primeras, para restringir la posición de la señal a una segunda hipérbola.

El punto de intersección de las dos medias hipérbolas da la ubicación del receptor

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ASTRONOMIA

El movimiento más frecuente de estrellas, planetas, satélites, etc. es el descrito mediante trayectorias elípticas (la circunferencia es un caso particular de elipse).

No hace falta salir al espacio para observar a la elipse y a la parábola como trayectorias que sigue un cuerpo. El físico italiano Galileo (1564-1642) descubrió la ley que gobierna el movimiento de los cuerpos sobre la superficie de la Tierra: La velocidad de caída de los cuerpos no depende de su masa y es directamente proporcional al tiempo. Esto implica que si lanzamos un objeto con cierta inclinación hacia arriba la trayectoria seguida es una parábola. Esto es así porque el movimiento de dicho objeto puede descomponerse en dos: uno horizontal y otro vertical -también descubierto por Galileo-, el horizontal sigue con velocidad constante mientras que el vertical sigue la ley: v = g·t, siendo g la constante de la gravedad (9,8 m/s²), t, el tiempo y v, la velocidad.

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ORBITA DE LOS COMETAS

A cierta del Sol, existe una velocidad umbral llamada velocidad de escape, v. Cuando un cometa tiene una velocidad igual o mayor que v, escapa del sistema solar. Si su velocidad es menor permanece dentro del campo gravitacional del Sol.

Trayectoria del cometa Elíptica si su velocidad es menor que v.

Hiperbólica si es mayor que v. Parabólica si es igual a v.

En los dos últimos casos , el cometa se acerca al Sol una sola vez y se retira al espacio para nunca volver (solo se consi-dera interacción entre 2 cuerpos, Sol-cometa)

MEDICINA

Se usa un aparato llamado litotriptor para desintegrar "cálculos" renales por medio de ondas intra-acuaticas de choque. El funcionamiento de este aparato es de la siguiente manera, se coloca un medio elipsoide de agua pegado al cuerpo del paciente en el foco de esta parte del elipsoide se pone un generador de ondas; el foco de la otra parte del elipsoide se debe localizar en estos calculos y asi reflejarse las ondas en la superficie de la elipsoide de afuera del paciente de todas convergeran

CIRCUNFERENCIA

Se utilizan técnicas circunferenciales para muchas cosas. Por ejemplo; Los Cds, piezas ordinarias en la música actual, son una placa circular con un borde que termina siendo una circunferencia. Al centro se observa un orificio redondo que sirve para tomar el Cd y para que la radio lo reproduzca. Estas piezas de la electrónica requieren de mucha precisión para su correcto funcionamiento. Por lo tanto para su fabricación se usan las técnicas del radio y el diámetro.

La Circunferencia en las Armas

Como ya hemos dicho, el diámetro es un segmento que une dos puntos de la circunferencia pasando por el centro, este diámetro es lo que se usa para medir el tamaño de agujeros como lo es en las armas. Se habla normalmente de pistolas calibre de 6.35 mm, 7.65 mm, 9 mm, etc. Esto no es solo un "nombre", sino que esto se refiere al tamaño del agujero (cañón) por donde salen los proyectiles (balas) del arma, usando el tamaño del diámetro y usando una medida milimetra para lograrlo.

La Circunferencia en el Transporte

En el transporte también podemos apreciar la presencia de la Circunferencia, de hecho, donde se puede notar y ejemplificar mejor es en la Bicicleta, un conjunto de tubos metálicos con dos ruedas que aplican la geometría perfectamente: Las ruedas están hechas de un "arco" . La mejor parte de esto es que la rueda se afirma desde el centro y desde este salen un montón de alambres delgados llamados "rayos" y estos son radios que mantienen la forma circunferencial de la rueda perfectamente. Otra cosa es que el tamaño de la rueda es medido en Aro 24, 26, etc. Y esto se hace usando el diámetro.

La Circunferencia en los Deportes

Quizás parezca que en la única parte en donde podría aplicarse la Circunferencia en los deportes sería en los balones... Pero no, si solo nos detenemos a pensar un poco nos daremos cuenta que muchas de las canchas o lugares en donde se practican deportes tienen marcas geométricas y Circunferencias que determinan situaciones reglamentarias, etc. Los campos de Fútbol, las canchas de Básquetbol, los campos de Fútbol Americano y en muchas más.

Ejercicio resuelto

  • 1. Analice y represente la gráfica del lugar geométrico cuya ecuación es :

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  • Representa un par de rectas (asíntotas) que se cortan en C (-3,2)

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EJERCICIOS PROPUESTOS

  • Determine el lugar geométrico que representa las siguientes ecuaciones (si al completar el independiente es (+) corresponde a hipérbola y puede determinar el tipo. Si es 0 será par de rectas, y si es (-) es imaginario o conjunto vacío).

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  • Transforme la ecuación dada trasladando los ejes al nuevo origen que se indica:

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  • Transforme las siguientes ecuaciones por medio de la traslación de ejes, eliminando "x" e "y".

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Conclusiones

Las curvas cónicas se empezaron a estudiar hace miles de años, mucha gente destinó su vida en entender y descifrar el porqué y como de las cónicas.

Hay cuatro tipos de cónicas:

La hipérbola, parábola, circunferencia y elipse.

Cada una tiene aplicaciones prácticas como es en el caso de la elipse e hipérbola.

Éstas son principalmente empleadas en el estudio de las órbitas, o sea en astronomía.

Como también las elipses se aplican para describir las trayectorias de ciertos vuelos en avión.

Bibliografía

  • Secciones Cónicas – Una mirada desde la derivación implícita (Cristina Gonzales Mazuelo)

  • Curvas y Superficies en diseño en ingeniera (José María Gomis Martí)

  • Geometría Analítica(Patricia Jaime Pérez)

  • Proyecciones Cónicas (Adroer)

  • Precálculo (Larson – Hostetler)

 

 

Autor:

Daniel Huachani Coripuna

escribidor2010[arroba]hotmail.com


Artículo original: Monografías.com

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